Лемма Евклида

Лемма Евклида — классический результат элементарной теории чисел. Она сформулирована как предложение 30 в книге VII «Начал» Евклида. Если простое число p делит без остатка произведение двух целых чисел x·y, то p делит x или y.

Доказательство


 Пусть x·y делится на p, но x не делится на p. Тогда x и p — взаимно простые, следовательно, найдутся целые числа u и v такие, что

xu+pv=1 (соотношение Безу).
  Умножая обе части на y, получаем

(xy)u+pvy=y.
  Оба слагаемых в левой части делятся на p, значит, и правая часть делится на p, ч.т.д.