Теорема Ферма Эйлера

Теорема Ферма — Эйлера или теорема о представлении простых чисел в виде суммы двух квадратов гласит:
 Любое простое число p=4n+1, где n — натуральное число, представимо в виде суммы квадратов двух натуральных чисел.
 Иначе говоря,
p=4n+1,nNp=x2+y2,
 где p — простое число.
 В иностранной литературе это утверждение часто называют рождественской теоремой Ферма, так как она стала известна из письма Пьера Ферма, посланного 25 декабря 1640 года.
 Примеры:

5=12+22,13=22+32,17=12+42,29=22+52,37=12+62,41=42+52.
  Из этого утверждения при помощи тождества Брахмагупты выводится общее утверждение:
 Натуральное число представимо в виде суммы двух квадратов (целых чисел) тогда и только тогда, когда любое простое число вида 4k+3 входит в его разложение на простые множители в чётной степени.
 Иногда именно этот факт подразумевается под теоремой Ферма — Эйлера.

История


 Впервые это утверждение обнаружено у Альбера Жирара в 1632 году. Пьер Ферма объявил в своём письме к Мерсенну (1640), что он доказал данную теорему, однако доказательство не привёл. Через 20 лет в письме к Каркави (от августа 1659 года) Ферма намекает, что доказательство основывается на методе бесконечного спуска.
 Первое опубликованное доказательство методом бесконечного спуска было найдено Леонардом Эйлером между 1742 и 1747 годами. Позднее доказательства, основанные на иных идеях, дали Жозеф Лагранж, Карл Гаусс, Герман Минковский, Якобшталь и Дон Цагир. Последним приведено доказательство, состоящее из одного предложения.

Доказательство


 Одно из самых коротких доказательств придумано немецким математиком Доном Цагиром:
 Инволюция конечного множества S={(x,y,z)N3:x2+4yz=p}, определённая как
 $(x,y,z) \rightarrow \begin{cases} (x+2z,z,y-x-z), & x2y \end{cases}имеетровнооднунеподвижнуюточку(аименно(1,1,k),таккакp=4k+1простое),такчто|S|нечётноиинволюция(x,y,z) \rightarrow (x,z,y)$ также имеет неподвижную точку.