Теорема Грина Тао

Теорема Грина — Тао — теоретико-числовое утверждение,доказанное Беном Грином и Теренсом Тао в 2004 году, согласно которомупоследовательность простых чисел содержит арифметические прогрессиипроизвольной длины. Другими словами, существуют арифметическиепрогрессии простых чисел, состоящие из k членов, где kможет быть любым натуральным числом. Доказательство заключается врасширении теоремы Семереди.

Формулировка


 Хотя теорема Грина-Тао известна только доказательством самого фактаприсутствия сколько угодно длинных прогрессий в множестве простых чисел,однако имеются значительные усиления этого утверждение - во-первых,утверждение остаётся верным для произвольного множества простых чиселположительной плотности (относительно множества всех простых чисел),во-вторых имеются отдельные верхние оценки того, насколько большимимогут быть элементы минимальной прогрессии в рассматриваемом множестве.
 Далее в формулировках P означает множество простых чисел.Запись log[k]x означает logloglogx, где логарифмберётся k раз.
 Теорема Грина-Тао
 Пусть A - множество простых чисел, и его плотность относительнопростых $\delta_{\mathbb P}(A) = \lim \sup_{n \to \infty} \frac{|{{конец рамки}}
 В своей отдельной более ранней работе Грин доказал результат, касающийся функции распределения множества A$,но только для частного случая трёхчленной прогрессии.
 Существует константа c такая, что если для множества простых чиселA{1,,N} выполнено|A|>cNlog[5]NlogNlog[4]N,то оно содержит трёхчленную арифметическую прогрессию.
 Поскольку требуемая функция асимптотически меньше количества простыхчисел на отрезке [1;n], то теорема остаётся верна для бесконечныхмножеств положительной плотности, когда|A{1,,N}|>δNlogN,δ>0. Таким образом, можно переформулировать последнюю теоремудля фиксированной плотности.
 Существует константа c такая, что для любого множества простых чиселA{1,,N} и его плотности\{delta = \{frac\{

Дальнейшиеработы


 В 2006 году Тао и Тамар Циглер обобщили результат до полиномиальныхпрогрессий. Более точно, для любых заданных полиномов с целымикоэффициентами P1,\ldots,Pk одной переменной m с нулевымпостоянным членом имеется бесконечно много целых x, m,таких, что x + P1(m), \ldots,x + Pk(m) простые числа.Специальный случай, когда полиномы — это m, 2m,\ldots, km, влечёт за собой предыдущий результат (имеютсяарифметические прогрессии простых чисел длины ''k').

Численныерезультаты


 18 января 2007 году Ярослав Вроблевский нашёл первый случайарифметической прогрессии из 24 простых чисел:

 468 395 662 504 823 + 205 619 · 223 092 870 · n, от n = 0до 23.
 Здесь константа 223 092 870 — это произведение простых чисел, меньших23 (см. примориал).
 17 мая 2008 Вроблевский и Раанан Чермони нашли последовательность из 25простых чисел:

 6 171 054 912 832 631 + 366 384 · 223 092 870 · n, от n =0 до 24.
 12 апреля 2010 Бенуа Перишон, пользуясь программой Вроблевского и ДжефаРейнолдса в проекте распределённых вычислений PrimeGrid, нашёларифметическую прогрессию из 26 простых чисел:

 43 142 746 595 714 191 + 23 681 770 · 223 092 870 · n, отn = 0 до 25 .