Теорема Харди Рамануджана

 В математике теорема Харди — Рамануджана утверждает, что скорость роста числа ω(n) различных простых делителей числа n определяется функцией повторного логарифма — log(log(n)), а «разброс» числа делителей — квадратным корнем этой функции.

Теорема


 Пусть действительная f(n) такова, что limnf(n)=, и пусть g(x) — число натуральных чисел $n
  $|\omega(n)-\log(\log(n))|  или более традиционно

|ω(n)log(log(n))|<(log(log(n)))12+ε , где ε>0
  Тогда

limxg(x)x=1
  Простое доказательство этой теоремы нашел Пал Туран.

Обобщения и усиления


 Такой же результат верен и для числа всех простых сомножителей в разложении числа n.
 Эта теорема обобщается теоремой Эрдёша — Каца, в которой доказывается, что распределение различных простых делителей натуральных чисел является нормальным со «средним» и «дисперсией» равными log(log(n)). Таким образом, имеется некоторая связь между распределением числа простых делителей и предельными законами теории вероятностей — центральной предельной теоремой и законом повторного логарифма.