Теорема о распределении простых чисел

Теорема о распределении простых чисел — теорема аналитической теории чисел, описывающая асимптотику распределения простых чисел. А именно, она утверждает, что функция распределения простых чисел π(n) (количество простых чисел на отрезке [1;n]) растёт с увеличением n как nlnn, то есть:

π(n)n/lnn1, когда n.
  Грубо говоря, это означает, что у случайно выбранного числа от 1 до n шанс оказаться простым примерно равен 1lnn.
 Также эта теорема может быть эквивалентным образом переформулирована для описания поведения k-го простого числа pk: она утверждает, что

pkklnk,k
  (здесь и далее запись  fg означает, что f/g1 когда аргумент функций стремится к бесконечности).
 Более точно распределение простых чисел описывает функция интегрального логарифма. При справедливости гипотезы Римана верно

π(n)=li(n)+O(nlnn).

История


 Первым статистическую закономерность в расположении простых чисел подметил Гаусс. В письме Энке (1849) он сообщил, что ещё в 1792 или 1793 году, чисто эмпирически, обнаружил, что плотность простых чисел «в среднем близка к величине, обратно пропорциональной логарифму». К этому времени, основываясь на таблицах простых чисел, составленных Фелкелем и Вегой, Лежандр предположил (в 1796 году), что функция распределения простых чисел π(x) (число простых чисел, не превосходящих x) может быть приближена выражением:

π(x)xln(x)B
  где B1,08366. Гаусс в упомянутом письме критикует формулу Лежандра и, используя эвристические рассуждения, предлагает другую приближающую функцию — интегральный логарифм:

Li(x)=2x1lnxdx
  Однако Гаусс нигде не опубликовал эту гипотезу. Оба приближения, как Лежандра, так и Гаусса, приводят к одной и той же предполагаемой асимптотической эквивалентности функций π(x) и x/ln(x), указанной выше, хотя приближение Гаусса и оказывается существенно лучше, если при оценке ошибки рассматривать разность функций вместо их отношения.
 В двух своих работах, 1848 и 1850 года, Чебышёв доказывает, что верхний M и нижний m пределы отношения


 заключены в пределах 0,92129mM1,10555, а также, что если предел отношения (1) существует, то он равен 1. Позднее (1881) Дж. Дж. Сильвестр сузил допустимый интервал для предела с 104 В 1859 году появляется работа Римана, рассматривающая (введённую Эйлером как функцию вещественного аргумента) ζ-функцию в комплексной области, и связывающая её поведение с распределением простых чисел. Развивая идеи этой работы, в 1896 году Адамар и Валле-Пуссен одновременно и независимо доказывают теорему о распределении простых чисел.
 Наконец, в 1949 году появляется не использующее комплексный анализ доказательство Эрдеша—Сельберга.

Общий ход доказательства


Переформулировка в терминах пси-функции Чебышёва


 Общим начальным этапом рассуждений является переформулировка закона распределения простых чисел в терминах пси-функции Чебышёва, определяемой как


  \{psi(x)=\{sum\_\{p\^k \{le x\} \{log p, \{qquad \{qquad (*) иными словами, пси-функция Чебышёва это сумма функции Мангольдта:


  \{psi(x)=\{sum\_\{n\{le x\} \{Lambda(n), \{qquad \{Lambda(n)= \{begin\{cases\} \{log p, \& n=p\^k, \{, k\{ge 1, \{quad p \{,\{text\{is a prime\} \{\{ 0, \& \{text\{otherwise\}. \{end\{cases\}
 А именно, оказывается, что асимптотический закон распределения простых чисел равносилен тому, что


  \{psi(x)\{sim x, \{quad x\{to \{infty. Это происходит из-за того, что логарифм «почти постоянен» на большей части отрезка [1,n], а вклад квадратов, кубов, и т. д. в сумму (*) пренебрежимо мал; поэтому практически все складываемые логарифмы lnp примерно равны lnx, и функция ψ(x) асимптотически ведёт себя так же, как π(x)lnx.

Классические рассуждения: переход к дзета-функции Римана


 Как следует из тождества Эйлера,


  \{zeta(s)=\{prod\_p \{frac\{1\}\{1-p\^\{-s\}\}, ряд Дирихле («производящая функция»), соответствующий функции Мангольдта, равен минус логарифмической производной дзета-функции:


  \{sum\_n \{Lambda(n) n\^\{-s\} = - \{frac\{\{zeta'(s)\}\{\{zeta(s)\}.
 Кроме того, интеграл по вертикальной прямой, находящейся справа от 0, от функции as/s равен 2πi при a>1 и 0 при $0 Строгая реализация этой программы позволяет получить :


  \{psi(x) =x-\{sum\_\{frac\{x\^\{rho\}\{\{rho\} - \{log(2\{pi) -\{frac\{1\}\{2\}\{log(1-x\^\{-2\}). \{qquad \{qquad (**) Суммирование тут ведётся по нулям ρ дзета-функции, лежащим в критической полосе 0<Re(s)<1, слагаемое log(2π)=ζ(0)ζ(0) отвечает полюсу xss в нуле, а слагаемое log(1x2)/2 — так называемым «тривиальным» нулям дзета-функции s=2,4,6,.
 Отсутствие нетривиальных нулей дзета-функции вне критической полосы и влечёт за собой искомое утверждение ψ(x)x (сумма в формуле (**) будет расти медленнее, чем x). Кроме того, гипотеза Римана влечёт за собой «оптимальную» оценку на возможные отклонения ψ(x) от x, и, соответственно, на отклонения π(x) от x/lnx.

Элементарное доказательство: завершение Эрдеша-Сельберга


 Основная теорема арифметики, записывающаяся после логарифмирования как


  \{ln n = \{sum\_\{p,k: \{, p\^kn\} \{ln p тем самым формулируется в терминах арифметических функций и свёртки Дирихле как


  \{ln = \{Lambda * \{mathbf\{1\}, где ln и 1 — арифметические функции, логарифм аргумента и тождественная единица соответственно.
 Формула обращения Мёбиуса позволяет перенести 1 в правую часть:


  \{Lambda= \{ln * \{mu, \{qquad \{qquad (**) где μ — функция Мёбиуса.
 Сумма левой части (**) — искомая функция ψ. В правой части, применение формулы гиперболы Дирихле позволяет свести сумму свёртки к сумме kL(nk)μ(k), где L — сумма логарифма. Применение формулы Эйлера-Маклорена позволяет записать L(n) как

L(n)=nlnnn+12lnn+γ+o(1),
  где γ — постоянная Эйлера. Выделяя из этого выражения слагаемые, имеющие вид kF(nk) для подходящим образом подобранной функции F (а именно, F(x)=xγ1), и обозначая через R остаток, имеем в силу обращения Мёбиуса

Λ=F+kR(nk)μ(k).
  Поскольку F(x)x, остаётся проверить, что второе слагаемое имеет вид o(x). Применение леммы Аскера позволяет свести эту задачу к проверке утверждения M(x)=o(x), где M(x)=nxμ(n) — функция Мертенса, сумма функции Мёбиуса.
 Малость сумм функции Мёбиуса на подпоследовательности следует из формулы обращения, применённой к функции 1/n.
 Далее, функция Мёбиуса в алгебре арифметических функций (с мультипликативной операцией-свёрткой) удовлетворяет «дифференциальному уравнению» первого порядка

μ=μΛ,
  где f(n)=f(n)lnn — дифференцирование в этой алгебре (переход к рядам Дирихле превращает его в обычное дифференцирование функции). Поэтому она удовлетворяет и уравнению второго порядка

μ=μ(ΛΛΛ).
  «Усредение» этого уравнения и то, что асимптотика суммы функции Λ2=ΛΛ+Λ оценивается лучше асимптотики сумм Λ, позволяет оценивать отношение M(x)x через средние значения такого отношения. Такая оценка вкупе с «малостью по подпоследовательности» и позволяет получить искомую оценку M(x)=o(x).