Скатерть Улама

Скатерть Улама — названная в честь Станислава Улама спиральчисел натурального ряда, на которой отмечены клетки, соответствующиепростым числам.

Историяоткрытия


 Скатерть Улама была открыта случайно в 1963 году — однажды математикудовелось присутствовать на очень длинном и скучном докладе. Чтобыразвлечься, он начертил на листке бумаги вертикальные и горизонтальныелинии, чтобы заняться составлением шахматных этюдов. Но вместо этого онстал нумеровать клетки: в центре поставил единицу, а затем, двигаясь поспирали, двойку, тройку и т. д. При этом он машинально отмечал простыечисла. Оказалось, что простые числа стали выстраиваться вдольдиагональных прямых. Это заинтересовало Улама, и позже он вместе сМайроном Л. Стейном и Марком Б. Уэллсом продолжил это исследование наЭВМ MANIAC II Лос-Аламосской лаборатории, использовав магнитную ленту,на которой были записаны 90 млн простых чисел.

Математическоезначение


 Диагонали на скатерти Улама описываются уравнением вида:

ax2+bx+c
 где коэффициенты a, b, c — целые числа.
 Поэтому графически построенная скатерть Улама позволяет быстро визуальноопределить многочлены второй степени, которые наиболее часто принимаютзначения, являющиеся простыми числами.
 Эти найденные таким «визуальным» способом многочлены могутиспользоваться для генерации простых чисел.
 Известный многочлен Эйлера x2+x+41, порождающий простые числа длявсех x менее 41 подчёркнут линией на рисунке.
 Графическое построение скатерти Улама больших размеров и другие подобныеграфические представления на плоскости последовательности чисел, гдепростые числа как-либо отмечены, использовались для поиска функции,значения которой являются простыми числами для наибольшего множествааргументов.

Вариации скатертиУлама


 Лауренце Монро Клаубер описал треугольное представление чисел, в которомкаждый ряд n содержит числа от (n1)2+1 до n2. Как и в спиралиУлама, многочлены второй степени на плоскости образуют прямые линии.Вертикальные линии соответствуют виду k2k+M, некоторые из которыхимеют высокую плотность простых чисел.
 В 1994 году Роберт Сакс изобрёл вариант спирали Улама, где числарасположены по Архимедовой спирали. В отличие от спирали Улама,количество чисел, образующих замкнутый круг, равно квадрату порядковогономера спирали. В спирали Сакса в каждую спираль входит такое количествочисел, которое равно удвоенному номеру спирали. Благодаря этому свойствувсе решения многочленов второй степени полностью укладываются в одинлуч, в то время как на спирали Улама они занимают два луча.