Псевдопростое число Люка

 В теории чисел классы псевдопростых чисел Люка и псевдопростых чисел Фибоначчи состоят из чисел Люка, прошедших некоторые тесты, которым удовлетворяют все простые числа.

Базовое свойство


 Рассмотрим последовательности Люка Un(P,Q) и Vn(P,Q), где целые числа P и Q удовлетворяют условию:

D=P24Q0.
  Тогда, если p — простое число, большее 2, то

VpP(modp)
  и, если символ Якоби

(Dp)=ε0,
  то p делит Up-ε.

Псевдопростые Люка


Псевдопростое Люка — это составное число n, которое делит Un-ε. (Ризель добавляет условие: символ Якоби (Dn)=1.)
 В частном случае последовательности Фибоначчи, когда P = 1, Q = −1 и D = 5, первые псевдопростые числа Люка — это 323 и 377; (5323) и (5377) оба равны −1, 324-ое число Фибоначчи делится на 323, а 378-ое — делится на 377.
Сильным псевдопростым Люка называется нечетное составное число n с (n,D)=1, и n-ε=2rs с s нечетным, удовлетворяющее одному из условий:

n делит Us
n делит V2j\emphs
  для некоторого j \textless r. Сильное псевдопростое Люка является также псевдопростым Люка.
Сверхсильным псевдопростым Люка называется сильное псевдопростое Люка для множества параметров (P,Q), где Q = 1, удовлетворяющее одному из слегка модифицированных условий:

n делит Us и Vs, сравнимо с ±2 по модулю n
n делит V2j\emphs
  для некоторого j \textless r. Сверхсильное псевдопростое Люка является также сильным псевдопростым Люка.
 Комбинируя тест на псевдопростоту Люка с тестом простоты Ферма, скажем, по модулю 2, можно получить очень сильные вероятностные тесты простоты.

Псевдопростые Фибоначчи


Псевдопростое Фибоначчи — это составное число, n для которого

Vn сравним с P по модулю n,
  где Q = ±1.
Сильное псевдопростое Фибоначчи может быть определено как составное число, являющееся псевдопростым числом Фибоначчи для любого P. Из определения следует (см. Мюллер (Müller) и Освальд (Oswald)), что :

  1. Нечетное составное целое n, являющееся также числом Кармайкла
  2. 2(pi + 1) (n − 1) или 2(pi + 1) (npi) для любого простого pi, делящего n.

 Наименьшее сильное псевдопростое число Фибоначчи — это 443372888629441, имеющее делители 17, 31, 41, 43, 89, 97, 167 и 331.
 Было высказано предположение, что не существует четных псевдопростых чисел Фибоначчи