Чётные и нечётные числа

Чётность в теории чисел — характеристика целого числа, определяющая его способность делиться нацело на .

Определения



  • Чётное число — целое число, которое делится на без остатка:  \ldots, −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8, \ldots


  • Нечётное число — целое число, которое не делится на без остатка:  \ldots, −3, −1, 1, 3, 5, 7, 9, \ldots

 Если m чётно, то оно представимо в виде m=2k, а если нечётно, то в виде m=2k+1, где kZ.
 С точки зрения теории сравнений, чётные и нечётные числа — это элементы соответственно классов вычетов [0] и [1] по модулю 2.

Арифметика



  • Сложение и вычитание:
    • Чётное ± Чётное = Чётное
    • Чётное ± Нечётное = Нечётное
    • Нечётное ± Нечётное = Чётное


  • Умножение:
    • Чётное × Чётное = Чётное
    • Чётное × Нечётное = Чётное
    • Нечётное × Нечётное = Нечётное


  • Деление:
    • Чётное / Чётное — однозначно судить о чётности результата невозможно (если результат — целое число, то оно может быть как чётным, так и нечётным)
    • Чётное / Нечётное = если результат — целое число, то оно Чётное
    • Нечётное / Чётное — результат не может быть целым числом, и соответственно обладать атрибутами чётности не может
    • Нечётное / Нечётное = если результат — целое число, то оно Нечётное

Признак чётности


В десятичной системе счисления


 Если в десятичной форме записи числа последняя цифра является чётной (0, 2, 4, 6 или 8), то всё число также является чётным, в противном случае — нечётным.

  42, 104, 11110, 9115817342 — чётные числа.
 31, 75, 703, 78527, 2356895125 — нечётные числа.

В других системах счисления


 Для всех систем счисления с чётным основанием (например, для шестнадцатеричной), действует тот же признак чётности: число делится на 2, если его последняя цифра делится на 2. Для систем счисления с нечётным основанием существует другой признак чётности: число чётно тогда и только тогда, когда чётна сумма его цифр. Например, число, обозначаемое записью «136», чётно в любой системе счисления, начиная с семеричной.

История и культура


 Понятие чётности чисел известно с глубокой древности и ему часто придавалось мистическое значение. В китайской космологии и натурософии чётные числа соответствуют понятию «инь», а нечётные — «ян».
 В разных странах существуют связанные с количеством даримых цветов традиции. Например в США, Европе и некоторых восточных странах считается, что чётное количество даримых цветов приносит счастье. В России и странах СНГ чётное количество цветов принято приносить лишь на похороны умершим. Однако, в случаях, когда в букете много цветов (обычно больше 11), чётность или нечётность их количества уже не играет никакой роли. Например, вполне допустимо подарить даме букет из 12, 14, 16 и т. д. цветов или срезов кустового цветка, имеющих множество бутонов, у которых они, в принципе, не подсчитываются. Тем более это относится к большему количеству цветов (срезов), даримых в других случаях.

Практика



  • Согласно Правилам дорожного движения, в зависимости от чётности или нечётности числа месяца может быть разрешена стоянка под знаками 3.29, 3.30.
  • В высших учебных заведениях со сложными графиками учебного процесса применяются чётные и нечётные недели. Внутри этих недель отличается расписание учебных занятий и в некоторых случаях время их начала и окончания. Такая практика применяется для равномерности распределения нагрузки по аудиториям, учебным корпусам и для ритмичности занятий по дисциплинам с нагрузкой 1 раз в 2 недели.
  • Четность/нечетность чисел широко применяется на железнодорожном транспорте:
    • При движении поезда ему присваивается маршрутный номер, который может быть четным или нечетным в зависимости от направления движения (прямое или обратное). Например поезд ``Россия'' при следовании из Владивостока в Москву имеет номер 001, а из Москвы во Владивосток - 002;
    • Чётностью/нечётностью на сленге железнодорожников обозначается направление, в котором проходит поезд через станцию (пример объявления ``По третьему пути пройдет нечетный поезд'');
    • С чётными и нечётными числами месяца увязаны графики движения пассажирских поездов, следующих через один день. При совпадении двух подряд нечетных чисел для равномерного распределения вагонов между конечными станциями поезда могут назначаться с отступлением от графика (в этом случае следующий поезд идет не через день, а через два дня или на следующий день);
    • Места в плацкартных и купейных вагонах всегда распределяются: четные - верхние, нечетные - нижние.