Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

Решётка E8

Решётка Е8 —  корневая решётка группыЕ8. Она реализует в размерности 8:

  • Максимально возможное контактное число;
  • Плотнейшую упаковку шаров.

 Обычно обозначается E8, также как и группa Е8.

История


 Существование этой решётки было доказано в 1867 году. Первое явноепостроение было дано Коркиным и Золотарёвым в 1873 году.

Описание


 Решетку Е8 можно реализовать как дискретную подгруппуR8 из векторов обладающих следующим набором свойств:

  • все координаты любой точки — либо целые числа, либо полуцелые числа (то есть целое число с половиной);
  • сумма всех восьми координат представляет собой чётное целое число.

 Иначе говоря,

E8={(xi)Z8(Z+12)8:ixi0(mod 2)}.
 Нетрудно проверить, что сумма и разность любых двух векторов изE8 содержится в E8, отсюдаE8 является подгруппой R8.
 Решетку Е8 можно также реализовать как множество всехточек в E'8 в R8 таких, что

  • все координаты — целые числа с чётной суммой, или
  • все координаты — полуцелые с нечётной суммой.

 Иначе говоря

E8={(xi)Z8(Z+12)8:ixi2x12x22x32x42x52x62x72x8(mod 2)}.
 или

 E\_8' = \{biggl\{\{(x\_i) \{in\{mathbb Z\^8 :\{\{\{textstyle\{sum\_i\} x\_i\}\{equiv 0(\{mbox\{mod\}2)\{biggr\{\}
 \{cup \{biggl\{\{(x\_i)\{in (\{mathbb Z +\{tfrac\{1\}\{2\})\^8 :\{\{\{textstyle\{sum\_i\} x\_i\}\{equiv 1(\{mbox\{mod\}2)\{biggr\{\}.
 Решетки E8 и E'8 изоморфны, одну можнополучить из другой, поменяв знак у одной из координат.

Свойства


Характеризация


 Решётку E8 можно охарактеризовать как единственнуюрешетку в R8, удовлетворяющую следующим свойствам:

  • Это унимодулярная решётка, то есть
    • из её базиса можно составить матрицу 8×8 с определителем ±1.
    • Иначе говоря, объём фундаментальной области этой решетки равен 1.
    • Эквивалентно, E8 является самодвойственной, то есть она совпадает со своей обратной решёткой.

  • Эта решётка чётная, то есть норма любого её вектора — чётное целое число.

 Чётные унимодулярные решетки существуют только в размерностях, кратных8. В размерности 16 таких решёток две: E8 ⊕E8 и D16+ (последняястроится аналогично E8 в размерности 16). В размерности24 существует 24 такие решётки, наиболее важной из них является решёткаЛича.

Базис


 Один из возможных базисов для E8 задаётся столбцамиследующей верхнетреугольной матрицы

 \{left[\{begin\{smallmatrix\}
 2 \& -1 \& 0 \& 0 \& 0 \& 0 \& 0 \& 1/2 \{\{0 \& 1 \& -1 \& 0 \& 0 \& 0 \& 0 \& 1/2 \{\{0 \& 0 \& 1 \& -1 \& 0 \& 0 \& 0 \& 1/2 \{\{0 \& 0 \& 0 \& 1 \& -1 \& 0 \& 0 \& 1/2 \{\{0 \& 0 \& 0 \& 0 \& 1 \& -1 \& 0 \& 1/2 \{\{0 \& 0 \& 0 \& 0 \& 0 \& 1 \& -1 \& 1/2 \{\{0 \& 0 \& 0 \& 0 \& 0 \& 0 \& 1 \& 1/2 \{\{0 \& 0 \& 0 \& 0 \& 0 \& 0 \& 0 \& 1/2\{end\{smallmatrix\}\{right]. То естьE8 состоит из всех целых линейных комбинаций столбцов.Все другие базисы получаются из одного умножением справа на матрицу изGL(8,Z).

Минимальнаянорма


 Кратчайший ненулевой вектор E8 имеет норму 2, всегорешётка содержит 240 таких векторов. Эти вектора образуют корневуюсистему группы Е8. То есть решётка E8является корневой решёткой Е8. Любой выбор из 8 простыхкорней дает базис E8.

Фундаментальнаяобласть


 Областями Вороного решётки E8 являются .

Группасимметрий


 Группы симметрий решетки в Rnопределяется как подгруппа ортогональной группы O(n), котораясохраняет решётку. Группа симметрий решётки Е8порожденная отражениями в гиперплоскостях, ортогональных 240 корнямрешётки. Ее порядок равен

|W(E8)|=696729600=4!6!8!.
 Эта группа содержит подгруппу порядка 128·8!, состоящую из всехперестановок координат и чётного числа смен знаков.  Полная группасимметрий порождается этой подгруппой и блок-диагональной матрицейH4H4 гдеH4 — матрица Адамара\\

 H\_4 =\{tfrac\{1\}\{2\}\{left[\{begin\{smallmatrix\}
 1 \& 1 \& 1 \& 1\{\{ 1 \& -1 \& 1 \&-1\{\{ 1 \& 1 \& -1 \&-1\{\{ 1 \& -1 \& -1 \&1\{\{\{end\{smallmatrix\}\{right].

Упаковкашаров


 В задаче упаковки шаров спрашивается, как наиболее плотным способомупаковать шары фиксированного радиуса в пространство без наложений. ВR8 размещение шаров радиуса 1/√2 в точкахрешётки Е8  дает упаковку максимальной плотности, равной

π4244!0.25367.
 То, что эта плотность максимальна для решётчатых упаковок, было известнодавно. Кроме того, было известно, что такая решётка единственна сточностью до подобия. Марина Вязовская недавно доказала, что этаупаковка является оптимальной даже среди всех упаковок.
 Решение задачи упаковки шаров известно только в размерностях 1, 2, 3, 8,и 24. Тот факт, что решения известны в размерностях 8 и 24, связан сособыми свойствами решетки Е8 и её 24-мерного аналогарешетки Лича.

Контактноечисло


 В задаче о контактном числе спрашивается, какое максимальное число шаровфиксированного радиуса может коснуться в центрального шара того жерадиуса. В рамерности 8 ответ — 240; такую конфигурацию можнополучить, если разместить шары в точках решётки Е8 сминимальной нормой. Это было доказано в 1979 году.
 Решение задачи о контактном числе известно только в размерностях 1, 2,3, 4, 8, и 24. Тот факт, что решения известны в размерностях 8 и 24,также связан с особыми свойствами решетки Е8 и её24-мерного аналога решетки Лича.

Тэта-функция


 Тэта-функция решетки Λ определяется как сумма
ΘΛ(τ)=xΛeiπτx2Imτ>0.Она является голоморфной функцией на верхней полуплоскости. Кроме того,тэта-функция чётной унимодулярной решетки ранга n являетсямодульной формой веса n/2.
 С точностью до нормализации, есть единственная модульная форма веса 4:это ряд Эйзенштейна G4(τ). То есть тэта-функциярешётки E8 должна быть пропорциональнаG4(τ). Это даёт

ΘE8(τ)=1+240n=1σ3(n)q2n
 где σ3(n) является функцией делителей иq=eiπτ.
 Отсюда следует, что число векторов нормы 2n в решёткеЕ8 равно 240(сумма кубов делителей n). Это:

ΘE8(τ)=1+240q2+2160q4+6720q6+17520q8+30240q10+60480q12+O(q14).
 Тета-функция решётки Е8 может быть записана в терминахтета-функций Якоби следующим образом:

ΘE8(τ)=12(θ2(q)8+θ3(q)8+θ4(q)8)
 где


 \{theta\_2(q) =\{sum\_\{n=-\{infty\}\^\{\{infty\}q\^\{(n+\{frac\{1\}\{2\})\^2\}\{qquad\{theta\_3(q) =\{sum\_\{n=-\{infty\}\^\{\{infty\}q\^\{n\^2\}\{qquad\{theta\_4(q) =\{sum\_\{n=-\{infty\}\^\{\{infty\}(-1)\^nq\^\{n\^2\}.

КодХэмминга


 Код Хэмминга H(8,4) — это двоичный код длины 8 и 4-го ранга; тоесть, это 4-мерное подпространство векторного пространства конечной(F2)8. Написание элементов(F2)8 в качестве 8-разрядныхцелых чисел в шестнадцатеричный код H(8,4) может быть явнозаписано как

 \{00, 0F, 33, 3C, 55, 5A, 66, 69, 96, 99, A5, AA, C3, CC, F0, FF\}.
 Код H(8,4) является самодвойственным кодом типа II. Он имеетминимальный вес Хэмминга 4; это означает, что любые два кодовые словаотличаются по крайней мере на 4 бита. Для двоичных кодов 4-го рангадлины 8 это является максимумом.
 По двоичному коду C длины n можно построить решетку Λ,взяв множество всех векторов xZn таких, что ''xсовпадает (по модулю 2) с кодовым словами из C часто удобномасштабировать Λ с коэффициентом 1/√2,

Λ=12{xZn:xmod2C}.
 Применение данной конструкции к самодвойственному коду типа II даетчётную, унимодулярную решетку. В частности, для кода Хемминга H(8,4)получаем решётку Е8.
 Задача отыскания явного изоморфизма между полученной решёткой и решеткойE8 определеной выше не вполне тривиальна.

Целыеоктонионы


 Решётка Е8 используется при определении целых октонионованалогично целым кватернионам.
 Целые октонионы, естественно, образуют решетку в O. Эта решеткаподобна решетке Е8 с коэффициентом 1/2.(Минимальная норма в целых октонионах равна 1, а не 2).
 Целые октонионы образуют неассоциативное кольцо.

Приложения



  • В 1982 году Фридман построил топологическое четырёхмерное многообразие, называемое Е8-многообразие, чья форма пересечений задаётся решёткой Е8. Это многообразие представляет собой пример топологического многообразия, которое не допускает гладкую структуру и даже не триангулируемо.
  • В теории струн, гетеротическая струна — это своеобразный гибрид 26-мерных бозонных струн и 10-мерных суперструн. Для того, чтобы теория работала правильно, 16 лишних размерностей должны быть компактифицированы чётной унимодулярной решеткой ранга 16. Есть две такие решетки: E8⊕E8 и D16+ (построен аналогично E8). Это приводит к двум версиям гетеротических струн, известным как E8×E8 и SO(32).