Решётка E8

Решётка Е8 —  корневая решётка группы Е8. Она реализует в размерности 8:

  • Максимально возможное контактное число;
  • Плотнейшую упаковку шаров.

 Обычно обозначается E8, также как и группa Е8.

История


 Существование этой решётки было доказано в 1867 году. Первое явное построение было дано Коркиным и Золотарёвым в 1873 году.

Описание


 Решетку Е8 можно реализовать как дискретную подгруппу R8 из векторов обладающих следующим набором свойств:

  • все координаты любой точки — либо целые числа, либо полуцелые числа (то есть целое число с половиной);
  • сумма всех восьми координат представляет собой чётное целое число.

 Иначе говоря,

E8={(xi)Z8(Z+12)8:ixi0(mod 2)}.
  Нетрудно проверить, что сумма и разность любых двух векторов из E8 содержится в E8, отсюда E8 является подгруппой R8.
 Решетку Е8 можно также реализовать как множество всех точек в E'8 в R8 таких, что

  • все координаты — целые числа с чётной суммой, или
  • все координаты — полуцелые с нечётной суммой.

 Иначе говоря

E8={(xi)Z8(Z+12)8:ixi2x12x22x32x42x52x62x72x8(mod 2)}.
  или

  E\_8' = \{biggl\{\{(x\_i) \{in \{mathbb Z\^8 : \{\{\{textstyle\{sum\_i\} x\_i\} \{equiv 0(\{mbox\{mod \}2)\{biggr\{\}
  \{cup \{biggl\{\{(x\_i) \{in (\{mathbb Z + \{tfrac\{1\}\{2\})\^8 : \{\{\{textstyle\{sum\_i\} x\_i\} \{equiv 1(\{mbox\{mod \}2)\{biggr\{\}.
 Решетки E8 и E'8 изоморфны, одну можно получить из другой, поменяв знак у одной из координат.

Свойства


Характеризация


 Решётку E8 можно охарактеризовать как единственную решетку в R8, удовлетворяющую следующим свойствам:

  • Это унимодулярная решётка, то есть
    • из её базиса можно составить матрицу 8×8 с определителем ±1.
    • Иначе говоря, объём фундаментальной области этой решетки равен 1.
    • Эквивалентно, E8 является самодвойственной, то есть она совпадает со своей обратной решёткой.

  • Эта решётка чётная, то есть норма любого её вектора — чётное целое число.

 Чётные унимодулярные решетки существуют только в размерностях, кратных 8. В размерности 16 таких решёток две: E8 ⊕ E8 и D16+ (последняя строится аналогично E8 в размерности 16). В размерности 24 существует 24 такие решётки, наиболее важной из них является решётка Лича.

Базис


 Один из возможных базисов для E8 задаётся столбцами следующей верхнетреугольной матрицы

  \{left[\{begin\{smallmatrix\}
  2 \& -1 \& 0 \& 0 \& 0 \& 0 \& 0 \& 1/2 \{\{ 0 \& 1 \& -1 \& 0 \& 0 \& 0 \& 0 \& 1/2 \{\{ 0 \& 0 \& 1 \& -1 \& 0 \& 0 \& 0 \& 1/2 \{\{ 0 \& 0 \& 0 \& 1 \& -1 \& 0 \& 0 \& 1/2 \{\{ 0 \& 0 \& 0 \& 0 \& 1 \& -1 \& 0 \& 1/2 \{\{ 0 \& 0 \& 0 \& 0 \& 0 \& 1 \& -1 \& 1/2 \{\{ 0 \& 0 \& 0 \& 0 \& 0 \& 0 \& 1 \& 1/2 \{\{ 0 \& 0 \& 0 \& 0 \& 0 \& 0 \& 0 \& 1/2 \{end\{smallmatrix\}\{right]. То есть E8 состоит из всех целых линейных комбинаций столбцов. Все другие базисы получаются из одного умножением справа на матрицу из GL(8,Z).

Минимальная норма


 Кратчайший ненулевой вектор E8 имеет норму 2, всего решётка содержит 240 таких векторов. Эти вектора образуют корневую систему группы Е8. То есть решётка E8 является корневой решёткой Е8. Любой выбор из 8 простых корней дает базис E8.

Фундаментальная область


 Областями Вороного решётки E8 являются .

Группа симметрий


 Группы симметрий решетки в Rn определяется как подгруппа ортогональной группы O(n), которая сохраняет решётку. Группа симметрий решётки Е8 порожденная отражениями в гиперплоскостях, ортогональных 240 корням решётки. Ее порядок равен

|W(E8)|=696729600=4!6!8!.
  Эта группа содержит подгруппу порядка 128·8!, состоящую из всех перестановок координат и чётного числа смен знаков.  Полная группа симметрий порождается этой подгруппой и блок-диагональной матрицей H4H4 где H4 — матрица Адамара\\

  H\_4 = \{tfrac\{1\}\{2\}\{left[\{begin\{smallmatrix\}
  1 \& 1 \& 1 \& 1\{\{ 1 \& -1 \& 1 \& -1\{\{ 1 \& 1 \& -1 \& -1\{\{ 1 \& -1 \& -1 \& 1\{\{ \{end\{smallmatrix\}\{right].

Упаковка шаров


 В задаче упаковки шаров спрашивается, как наиболее плотным способом упаковать шары фиксированного радиуса в пространство без наложений. В R8 размещение шаров радиуса 1/√2 в точках решётки Е8  дает упаковку максимальной плотности, равной

π4244!0.25367.
  То, что эта плотность максимальна для решётчатых упаковок, было известно давно. Кроме того, было известно, что такая решётка единственна с точностью до подобия. Марина Вязовская недавно доказала, что эта упаковка является оптимальной даже среди всех упаковок.
 Решение задачи упаковки шаров известно только в размерностях 1, 2, 3, 8, и 24. Тот факт, что решения известны в размерностях 8 и 24, связан с особыми свойствами решетки Е8 и её 24-мерного аналога решетки Лича.

Контактное число


 В задаче о контактном числе спрашивается, какое максимальное число шаров фиксированного радиуса может коснуться в центрального шара того же радиуса. В рамерности 8 ответ — 240; такую конфигурацию можно получить, если разместить шары в точках решётки Е8 с минимальной нормой. Это было доказано в 1979 году.
 Решение задачи о контактном числе известно только в размерностях 1, 2, 3, 4, 8, и 24. Тот факт, что решения известны в размерностях 8 и 24, также связан с особыми свойствами решетки Е8 и её 24-мерного аналога решетки Лича.

Тэта-функция


 Тэта-функция решетки Λ определяется как сумма
ΘΛ(τ)=xΛeiπτx2Imτ>0.
Она является голоморфной функцией на верхней полуплоскости. Кроме того, тэта-функция чётной унимодулярной решетки ранга n является модульной формой веса n/2.
 С точностью до нормализации, есть единственная модульная форма веса 4: это ряд Эйзенштейна G4(τ). То есть тэта-функция решётки E8 должна быть пропорциональна G4(τ). Это даёт

ΘE8(τ)=1+240n=1σ3(n)q2n
  где σ3(n) является функцией делителей и q=eiπτ.
 Отсюда следует, что число векторов нормы 2n в решётке Е8 равно 240(сумма кубов делителей n). Это :

ΘE8(τ)=1+240q2+2160q4+6720q6+17520q8+30240q10+60480q12+O(q14).
  Тета-функция решётки Е8 может быть записана в терминах тета-функций Якоби следующим образом:

ΘE8(τ)=12(θ2(q)8+θ3(q)8+θ4(q)8)
  где


  \{theta\_2(q) = \{sum\_\{n=-\{infty\}\^\{\{infty\}q\^\{(n+\{frac\{1\}\{2\})\^2\}\{qquad \{theta\_3(q) = \{sum\_\{n=-\{infty\}\^\{\{infty\}q\^\{n\^2\}\{qquad \{theta\_4(q) = \{sum\_\{n=-\{infty\}\^\{\{infty\}(-1)\^n q\^\{n\^2\}.

Код Хэмминга


 Код Хэмминга H(8,4) — это двоичный код длины 8 и 4-го ранга; то есть, это 4-мерное подпространство векторного пространства конечной (F2)8. Написание элементов (F2)8 в качестве 8-разрядных целых чисел в шестнадцатеричный код H(8,4) может быть явно записано как

  \{00, 0F, 33, 3C, 55, 5A, 66, 69, 96, 99, A5, AA, C3, CC, F0, FF\}.
  Код H(8,4) является самодвойственным кодом типа II. Он имеет минимальный вес Хэмминга 4; это означает, что любые два кодовые слова отличаются по крайней мере на 4 бита. Для двоичных кодов 4-го ранга длины 8 это является максимумом.
 По двоичному коду C длины n можно построить решетку Λ, взяв множество всех векторов xZn таких, что ''x совпадает (по модулю 2) с кодовым словами из C часто удобно масштабировать Λ с коэффициентом 1/√2,

Λ=12{xZn:xmod2C}.
  Применение данной конструкции к самодвойственному коду типа II дает чётную, унимодулярную решетку. В частности, для кода Хемминга H(8,4) получаем решётку Е8.
 Задача отыскания явного изоморфизма между полученной решёткой и решеткой E8 определеной выше не вполне тривиальна.

Целые октонионы


 Решётка Е8 используется при определении целых октонионов аналогично целым кватернионам.
 Целые октонионы, естественно, образуют решетку в O. Эта решетка подобна решетке Е8 с коэффициентом 1/2. (Минимальная норма в целых октонионах равна 1, а не 2).
 Целые октонионы образуют неассоциативное кольцо.

Приложения



  • В 1982 году Фридман построил топологическое четырёхмерное многообразие, называемое Е8-многообразие, чья форма пересечений задаётся решёткой Е8. Это многообразие представляет собой пример топологического многообразия, которое не допускает гладкую структуру и даже не триангулируемо.
  • В теории струн, гетеротическая струна — это своеобразный гибрид 26-мерных бозонных струн и 10-мерных суперструн. Для того, чтобы теория работала правильно, 16 лишних размерностей должны быть компактифицированы чётной унимодулярной решеткой ранга 16. Есть две такие решетки: E8⊕E8 и D16+ (построен аналогично E8). Это приводит к двум версиям гетеротических струн, известным как E8×E8 и SO(32).