Решётка

Решётка в теории групп может иметь два значения:

  • Дискретная подгруппа в группе Ли, факторпространство по которой имеет конечный объём в смысле меры Хаара. В частности, любая дискретная кокомпактная подгруппа группы Ли — решётка.
  • Свободная коммутативная группа конечного ранга (то есть изоморфная \Zn) с билинейной формой на ней.

Решётки в евклидовом пространстве


 В случае \Rn, решётки — в точности дискретные абелевы подгруппы максимального вектора, то есть подгруппы, имеющие вид


  \{Gamma=\{Z v\_1+\{dots+ \{Z v\_n, где вектора v1,,vnRn линейно независимы

Связанные понятия


 Решётка Γ\Rn называется:

  • Целой, если скалярное произведение между любыми двумя её векторами целое:



  \{forall u,v\{in\{Gamma \{quad \{langle u,v\{rangle \{in\{Z.

  • Чётной, если норма любого её вектора чётная:



  \{forall v\{in\{Gamma \{quad \{langle v,v\{rangle \{in\{Z.

  • Унимодулярной, если фактор по ней имеет объём 1, или, что то же самое, если объём 1 имеет её фундаментальный параллелепипед.

Двойственной решёткой к решётке Γ называется решётка Γ, определённая как


  \{Gamma\^\{\{perp\}= \{\{u \{mid \{forall v\{in \{Gamma \{quad \{langle u,v\{rangle \{in\{Z \{\}.
 Решётка называется самодвойственной, если она совпадает с двойственной к себе.

Свойства



  • Если решётка Γ целая, то ΓΓ.
  • Кообъёмы решётки и двойственной к ней в произведении дают 1.
  • Целая унимодулярная решётка автоматически самодвойственна.
  • Чётные самодвойственные решётки существуют только в пространствах размерностей, кратных восьми.

Решётки в SL(2,R)


 В случае группы Ли SL(2,\R), решётка уже не обязательно кокомпактна: так, для подгруппы SL(2,\Z)SL(2,\R) объём фактора по ней конечен, однако SL(2,\Z) не является кокомпактной (фактор по ней — единичное касательное расслоение к модулярной поверхности, имеющей каспидальную особенность, и, тем самым, некомпактной).