Решётка Лича

Решётка Лича — специальная решётка в 24-мерном пространстве, реализующая в этой размерности:

  • максимально возможное контактное число;
  • плотнейшую упаковку шаров.

 Решётка Лича является чётной самодвойственной (в частности, унимодулярной) решёткой с длиной кратчайшего вектора равной 2, а её контактное число равно 196560.

Конструкции


Конструкция через код Голея


 Решётка Лича может быть определена с помощью кода Голея C типа [24,12,8] как образ при сжатии в 22 раз множества векторов (a1,,a24)\Z24 таких, что


  a\_1+a\_2+\{cdots+a\_\{24\}\{equiv 4a\_1\{equiv 4a\_2\{equiv\{cdots\{equiv4a\_\{24\}\{pmod\{8\} и для каждого класса j вычетов по модулю 4 двоичное 24-битовое слово v, заданное как


  v\_i=\{begin\{cases\} 1, \& a\_i \{equiv j \{pmod 4,\{\{ 0, \& a\_i \{not\{equiv j \{pmod 4, \{end\{cases\} принадлежит C.

Конструкция через лоренцево пространство сигнатуры (25,1)


 Решётка Лича может быть построена с помощью лоренцева пространства сигнатуры (25,1). А именно, в этом пространстве рассматривается чётная унимодулярная решётка II25,1}, состоящая из векторов (x0,,x25), у которых все координаты одновременно целые или одновременно полуцелые, и при этом x0++x24x252\Z, иными словами, скалярное произведение с вектором из всех единиц чётно.
 Такой решётке принадлежит изотропный вектор u=(0,1,,24,70). Отметим, что в силу изотропности uu, поэтому можно рассмотреть факторпространство u/u. Ограничение скалярного произведения на это факторпространство (опять-таки, в силу изотропности u) корректно определено и оказывается положительно определённым. Образ (uII25,1)/u пересечения исходной решётки с ортогональным дополнением при такой факторизации и будет решёткой Лича в получившемся 24-мерном евклидовом пространстве.