Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

Решётка Лича

Решётка Лича — специальная решётка в 24-мерном пространстве,реализующая в этой размерности:

  • максимально возможное контактное число;
  • плотнейшую упаковку шаров.

 Решётка Лича является чётной самодвойственной (в частности,унимодулярной) решёткой с длиной кратчайшего вектора равной 2, а еёконтактное число равно 196560.

Конструкции


Конструкция через кодГолея


 Решётка Лича может быть определена с помощью кода Голея Cтипа [24,12,8] как образ при сжатии в 22 раз множествавекторов (a1,,a24)\Z24 таких, что


 a\_1+a\_2+\{cdots+a\_\{24\}\{equiv4a\_1\{equiv4a\_2\{equiv\{cdots\{equiv4a\_\{24\}\{pmod\{8\}и для каждого класса j вычетов по модулю 4 двоичное 24-битовоеслово v, заданное как


 v\_i=\{begin\{cases\} 1, \& a\_i \{equiv j\{pmod 4,\{\{ 0, \& a\_i\{not\{equiv j \{pmod 4,\{end\{cases\} принадлежит C.

Конструкция через лоренцево пространство сигнатуры(25,1)


 Решётка Лича может быть построена с помощью лоренцева пространствасигнатуры (25,1). А именно, в этом пространстве рассматривается чётнаяунимодулярная решётка II25,1}, состоящая из векторов(x0,,x25), у которых все координаты одновременно целые илиодновременно полуцелые, и при этом x0++x24x252\Z,иными словами, скалярное произведение с вектором из всех единиц чётно.
 Такой решётке принадлежит изотропный вектор u=(0,1,,24,70).Отметим, что в силу изотропности uu,поэтому можно рассмотреть факторпространствоu/u. Ограничение скалярногопроизведения на это факторпространство (опять-таки, в силу изотропностиu) корректно определено и оказывается положительно определённым. Образ(uII25,1)/uпересечения исходной решётки с ортогональным дополнением при такойфакторизации и будет решёткой Лича в получившемся 24-мерном евклидовомпространстве.