Теорема Минковского о выпуклом теле

Теорема Минковского о выпуклом теле — одна из теорем геометрии чисел, послужившая основой выделения геометрии чисел в раздел теории чисел. Установлена Германом Минковским в 1896.

Формулировка


 Пусть S — замкнутое выпуклое тело, симметричное относительно начала координат O, n-мерного евклидова пространства, имеющее объём 2n. Тогда в S найдётся целочисленная точка, отличная от O.

Доказательство


 Ниже приведено доказательство теоремы Минковского для частного случая . Оно может быть обобщено на произвольную размерность.
 Рассмотрим отображение
f:SR2(x,y)(xmod2,ymod2)
Интуитивно, это отображение нарезает тело на квадраты размером 2 на 2, которые накладывает один поверх другого. Очевидно, что площадь . Если бы отображение было инъективно, то части , вырезанные квадратами, совмещались бы без перекрытия. Так как сохраняет локальные площади фрагментов, то это свойство непересечения сделало бы отображение сохраняющим площадь всего , так что площадь была бы такой же, как у - численно больше 4. Раз это не так, то не инъективно, а следовательно, для некоей пары точек . Более того, по определению мы знаем, что для неких целочисленных и , где хотя бы одно из них не равно нулю.
 Тогда, так как симметрично относительно начала координат, также входит в . Так как выпукло, то отрезок между и полностью лежит в . Середина этого отрезка
12(p1+p2)=12(p1+p1+(2i,2j))=(i,j)
лежит в . является целочисленной точкой и не является началом координат ( и не могут оба быть равными нулю). Таким образом, мы нашли искомую точку.

Вариации и обобщения



  • Обобщением теоремы Минковского на невыпуклые множества является теорема Блихфельдта.
  • В 2007 году Николай Дуров показал, что теорема Минковского может быть воспринята как вариант теоремы Римана — Роха для пополненного спектра \Z .