Древний Египет

 Познания о древнеегипетской математике основаны главным образом на двух больших папирусах (папирус Ринда, находящийся в Лондоне и папирус, находящийся в Москве) математического характера и нескольких небольших отрывках. Папирус Ринда представляет собой собрание 84 задач прикладного характера. При решении этих задач производятся действия с дробями, вычисляются площади прямоугольника, треугольника, трапеции и круга ((98d)2, что соответствует грубому приближению π3,1605), объемы параллелепипеда, цилиндра, размеры пирамид. Имеются также задачи на пропорциональное деление, а при решении одной из задач находится сумма геометрической прогрессии. В московском папирусе собраны решения 25 задач. Большинство их такого же типа, как и в папирусе Ринда. кроме того, в одной из задач правильно вычисляется объем усеченной пирамиды с квадратным основанием. В другой задаче содержится самый ранний в математике пример определения площади кривой поверхности: вычисляется боковая поверхность корзины, т.е. полуцилиндра, высота которого равна диаметру основания. Ко времени написания этих документов у древних египтян уже сложилась определенная система счисления: десятичная иероглифическая. Для узловых чисел вида 10k(k=0,1,,,7) установлены индивидуальные иероглифы. Алгоритмические числа записывались комбинациями узловых. С помощью этой системы производились все вычисления с целыми числами. Для работы с дробями египтяне создали специальный аппарат, опиравшийся на понимание дроби как доли единицы. В силу этого представления употреблялись лишь аликвотные дроби (вида 1n) и некоторые индивидуальные, например 23 и 34. Все результаты, которые должны были выражаться дробями вида mn, выражались суммой аликвотных дробей. Для облегчения таких операций были составлены специальные таблицы, например таблица чисел вида 2n(n=3,,101)). Отметим, что «тривиальное» разложение 2n=1n+1n никогда не встречается, вероятно, в силу своей очевидности. Сложились также определенные приемы производства математических операций с целыми числами и дробями. Общим для всей вычислительной техники египтян являлся ее аддитивный характер, при котором все процедуры по возможности сводятся к сложению. При умножении, например, преимущественно используется способ постепенного удвоения одного из сомножителей и складывания подходящих частных произведений. При делении также используется процедура удвоения и последовательного деления пополам. Часто встречается операция, называемая «х а у» («куча»), соответствующая решению линейного уравнения вида ax+bx++cx=α. При сложении дробей, имеющих разные знаменатели, египтяне использовали умножение их на вспомогательные числа. Материалы, содержащиеся в папирусах, позволяют утверждать, что за 20 веков до нашей эры в Египте начали складываться элементы математики как науки.