Древняя Греция

 В Древней Греции, в школе Пифагора (VI в. до н.э.), рассматривали только целые положительные числа и полагали число собранием единиц. Единицы были неделимы и располагались в виде правильных геометрических тел. Пифагорейцам характерно определение «фигурных чисел» («треугольных», «квадратных» и других). Изучая свойства и вопросы делимости чисел, они разбили их на чётные и нечётные (как признак делимости на два), простые и составные, а также совершенные (т.е. числа, сумма собственных делителей которого равна этому же числу). Вероятно именно пифагорейцы с помощью только признака делимости на два смогли доказать, что если 1+2+ ++2n=p – простое число, то 2np – совершенное число. Доказательство изложено в Началах Евклида (IX, 36), только в 18 веке Эйлер доказал, что других чётных совершенных чисел не существует, а вопрос о бесконечности числа совершенных чисел до сих пор не решён. Также пифагорейцы вывели формулу и нашли бесконечное множество целых решений уравнения x2+y2=z2 (пифагоровых троек). Было известно, что взаимно простые числа x,y,z, удовлетворяющие уравнению x2+y2=z2, получаются по формулам: x=2mn,y=m2n2,z=m2+n2, где m и n - целые числа, m>n>0,gcd(m,n)=1,mn – четное Евклид (III в. до н.э.) в своих «Началах» дает алгоритм (так называемый алгоритм Евклида) для определения наибольшего общего делителя (Н.О.Д.) двух чисел, являющийся основой теории делимости целых чисел, а также доказывает теорему о том, что простые числа образуют бесконечное множество. Дальнейший шаг в теории простых чисел сделал Эратосфен (III в. до н.э.), давший способ выделения простых чисел из ряда натуральных чисел (решето Эратосфена). Большое значение имели работы греческого математика Диофанта Александрийского. Теорию чисел как особую область математики можно рассматривать только начиная с работ Диофанта. Из его работ сохранились только часть «Арифметики» и книги о многоугольных числах. Диофант Александрийский, в отличие от предыдущих математиков Древней Греции, решал задачи классической алгебры описывая их геометрически. Значительную часть своей работы он посвятил решению неопределенных уравнений в рациональных числах. (В дальнейшем название диофантовых уравнений получили уравнения, решаемые в целых числах). Диофант с большим мастерством решает различные неопределенные уравнения до 3-й и 4-й степени, однако общих методов у него нет. Работы Диофанта по решению неопределённых уравнений в рациональных числах стоят на стыке теории чисел и алгебраической геометрии. Он исследует уравнение второго порядка от двух переменных F2(x,y)=0, которое является уравнением конического сечения. Метод, с помощью которого Диофант находит рациональные точки кривой, если известна хоть одна такая, устанавливает, что кривая второго порядка либо содержит бесконечное множество точек, координаты которых выражаются как рациональные функции одного параметра, либо не содержит их вовсе. Для исследования уравнений третьего и четвёртого порядка применяются более сложные геометрические методы (построение касательной в рациональной точке, или прямой через две рациональные точки для поиска следующего пересечения). Именно эти задачи явились позднее отправным пунктом всей теории форм и той базой, откуда возникла проблематика теории диофантовых приближений. Работа Диофанта была переиздана французским математиком Баше де-Мезириаком в 1621 г. Она стала отправной точкой для теоретико числовых исследований французского математика П.Ферма (1601-1665), Эйлера, Гаусса и других математиков.