Характер кубического вычета

Характер кубического вычета — теоретико-числовая функция двух аргументов, являющаяся частным случаем . Также является характером в простом поле.
 Характер кубического вычета является аналогом символа Лежандра, и для его вычисления используется кубический закон взаимности, являющийся аналогом квадратичного закона взаимности.

Определение


 Пусть кубический корень из единицы.
 Рассмотрим D=Z[w] — кольцо чисел Эйзенштейна, то есть чисел вида где a и b — целые числа.
 Пусть π — простое в кольце D с нормой N(π), такое что N(π)3. В этом случае N(π)1 делится на 3. Определим характер кубического вычета следующим образом:

  • (απ)3=0, если α делится на π.
  • (απ)3=α(N(π)1)/3modπ иначе.

 Заметим, что при π, не делящем α , значение характера кубического вычета принимает одно из трёх значений: {1, ω, ω2}.

Кубический закон взаимности


 Назовём π примарным, если оно является простым в D и сравнимо с 2 по модулю 3. Пусть π и θ — примарные, тогда

Другие свойства характера кубического вычета



  • (απ)3=1 тогда и только тогда, когда сравнение x3αmodπ разрешимо в Z[ω], то есть тогда и только тогда, когда α — кубический вычет
  • Мультипликативность: (αβπ)3=(απ)3(βπ)3
  • Периодичность: если αβmodπ, то (απ)3=(βπ)3
  • Если π=1+3(m+nω) — примарное, то

 :* (ωπ)3=ωm+n
 :* (1ωπ)3=ω2m

Список литературы




 подзаголовок заглавие= Классическое введение в современную теорию чисел оригинал= ссылка= автор= Айерлэнд К., Роузен М. год=1987 место= Москва издательство=Мир страницы= isbn= \}\}


 подзаголовок заглавие= Reciprocity laws: From Euler to Eisenstein оригинал= ссылка= автор= Franz Lemmermeyer год=2000 место= Springer Verlag издательство= страницы= isbn=3-540-66957-4 \}\}
 Категория:Алгебраическая теория чисел Категория:Теоремы теории чисел