Гипотеза Эрдёша Грэма

Гипотеза Эрдёша — Грэма — предположение в комбинаторной теории чисел относительно проблемы разбиения множества целых чисел, больших единицы, на конечное число подмножеств, одно из которых можно использовать для образования египетской дроби, представляющей единицу. Эрдёш и Грэм высказали предположение, что для любого r>0 и любой r-раскраски целых чисел, больших единицы, имеется конечное одноцветное подмножество S этих целых чисел, такое что:

nS1n=1,
  и максимальный элемент множества S можно ограничить значением br с некоторой константой b, независимой от r. Известно, что для верности этого утверждения необходимо, чтобы b было не меньше числа e.
 Гипотеза доказана в 2003 году, установленная оценка b очень велика — число должно быть не больше e167000. Результат Крута вытекает из более общей теоремы, утверждающий о существовании представления единицы в виде египетской дроби для множеств C гладких чисел в интервалах вида [X,X1+δ], где C содержит достаточно много чисел, сумма обратных величин которых не меньше шести. Гипотеза Эрдёша — Грэма выводится из этого результата путём нахождения интервала, в котором сумма обратных величин всех гладких чисел будет как минимум 6r. Таким образом, если целые числа r-раскрашены, должно существовать одноцветное подмножество C, удовлетворяющее условию теоремы Крута.