Теорема Гельфонда Шнайдера

Теорема Гельфонда—Шнайдера — теорема в теории чисел, которая устанавливает трансцендентность большого класса чисел и тем самым решает (утвердительно) Седьмую проблему Гильберта. Была доказана независимо в 1934 году советским математиком Александром Гельфондом и немецким математиком Теодором Шнайдером.

Формулировка


 Если a,b — алгебраические числа, причём a не ноль и не единица, а b иррационально, то любое значение ab — трансцендентное число. \}
 Эквивалентные формулировки для логарифмов (основание логарифма выбирается произвольно): Если a,b — алгебраические числа, не равные нулю или единице, то log(b)/log(a) — либо рациональное, либо трансцендентное число. \}
 Если log(a),log(b) линейно независимы над полем рациональных чисел, то они линейно независимы и над полем алгебраических чисел. \} Про обобщение последней формулировки см. статью Теория трансцендентных чисел.

Пояснения



  • Значения a,b могут быть не только вещественными, но и комплексными числами; поскольку комплексная степень многозначна, в формулировке особо подчёркнуто: любое значение..
  • Если убрать требование, чтобы a,b были алгебраическими числами, теорема будет неверна. Пример:



(22)2=222=22=2.
 Из примера, с учётом теоремы, также очевидно, что 22 — трансцендентное число.


  • доказал аналог данной теоремы для p-адических чисел.

Следствия


 Из теоремы вытекает трансцендентность некоторых важных математических констант.

  • 22 и уже упомянутый выше квадратный корень из неё: 22.
  • Постоянная Гельфонда eπ=(eiπ)i=(1)i=23.14069263, а такжеii=(eiπ/2)i=eπ/2=0.207879576.