Вписанный четырёхугольник

Вписанный четырёхугольник — это четырёхугольник, вершины которого лежат на окружности. Эта окружность называется описанной. Обычно предполагается, что четырёхугольник выпуклый, но бывают и самопересекающиеся вписанные четырёхугольники. Формулы и свойства, данные ниже, верны только для выпуклых четырёхугольников. Все треугольники имеют описанные окружности, но не все четырёхугольники. Примером четырёхугольника, который нельзя вписать в окружность, может служить ромб (если только он не является квадратом). Секция «Свойства» ниже даёт необходимые и достаточные условия, чтобы вокруг четырёхугольника можно было описать окружность.

Специальные случаи

Любые квадраты, прямоугольники, равнобедренные трапеции или антипараллелограммы можно вписать в окружность. Дельтоид можно вписать в том и только в том случае, когда у него два угла прямые. — это вписанный четырёхугольник, который также является и описанным, а внешне бицентричный четырёхугольник — это вписанный четырёхугольник, который является также .

Свойства

Выпуклый невырожденный четырёхугольник является вписанным тогда и только тогда, когда четыре серединных перпендикуляра, проведённых к каждой из сторон, пересекаются в одной точке. Выпуклый четырёхугольник ABCDABCD является вписанным тогда и только тогда, когда противоположные углы в сумме дают 180°, то есть. A+C=B+D=π=180.
A+C=B+D=π=180.
Теорема была Предложением 22 в книге 3 Евклида Начала. Эквивалентно, выпуклый четырёхугольник является вписанным тогда и только тогда, когда смежный угол равен противоположному внутреннему углу. Другой критерий для того, чтобы выпуклый четырёхугольник ABCDABCD был вписанным, требует, чтобы угол между стороной и диагональю был равен углу между противоположной стороной и другой диагональю. Например, ACB=ADB.
ACB=ADB.
Неравенство Птолемея утверждает, что произведение длин двух диагоналей p и q четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон, только если четырёхугольник вписан: pq=ac+bd.
pq=ac+bd.
Если две прямые, из которых одна содержит отрезок AC, а другая — отрезок BD, пересекаются в точке P, то четыре точки A, B, C, D лежат на окружности тогда и только тогда, когда APPC=BPPD.
APPC=BPPD.
Точка пересечения P может лежать как внутри, так и вне окружности. В первом случае это будет вписанный четырёхугольник ABCD, а во втором — вписанный четырёхугольник ABDC. Если пересечение лежит внутри, равенство означает, что произведение отрезков, на которые точка P делит одну диагональ, равно произведению отрезков другой диагонали. Это утверждение известно как теорема о пересекающихся хордах, поскольку диагонали вписанного четырёхугольника являются хордами описанной окружности. Выпуклый четырёхугольник ABCD является вписанным тогда и только тогда, когда tanA2tanC2=tanB2tanD2=1.
tanA2tanC2=tanB2tanD2=1.

Площадь

Площадь K вписанного четырёхугольника со сторонами a, b, c, d задаётся формулой Брахмагупты K=(sa)(sb)(sc)(sd)
K=(sa)(sb)(sc)(sd)
где s, полупериметр, равен s=12(a+b+c+d)s=12(a+b+c+d). Утверждение является соотношения Бретшнайдера, поскольку противоположные углы в сумме дают 180°. Если же d= 0, вписанный четырёхугольник становится треугольником, и равенство превращается в формулу Герона. Вписанный четырёхугольник имеет максимальную площадь среди всех четырёхугольников, имеющих ту же последовательность длин сторон. Это другое следствие соотношения Бретшнайдера. Утверждение можно доказать с помощью математического анализа. Четыре неравные длины, каждая из которых меньше суммы остальных трёх, являются сторонами трёх неконгруэнтных вписанных четырёхугольников, и по формуле Брахмагупты все эти треугольники имеют одинаковую площадь. В частности, для сторон a, b, c и d сторона a может быть противоположной любой из сторон b, c или d. Любые два из этих трёх вписанных четырёхугольников имеют диагональ одинаковой длины. Площадь вписанного четырёхугольника с последовательными сторонами a, b, c, d и углом B между сторонами a и b можно выразить формулой K=12(ab+cd)sinB
K=12(ab+cd)sinB
или K=12(ac+bd)sinθ
K=12(ac+bd)sinθ
где θ — любой угол между диагоналями. Если угол A не является прямым, площадь можно выразить формулой K=14(a2b2c2+d2)tanA.
K=14(a2b2c2+d2)tanA.
Ещё одна формула площади K=2R2sinAsinBsinθ
K=2R2sinAsinBsinθ
где R — радиус описанной окружности. Прямым следствием будет K2R2
K2R2
, и неравенство превращается в равенство в том и только в том случае, когда четырёхугольник является квадратом.

Диагонали

Во вписанном четырёхугольнике с вершинами A, B, C, D (в указанной последовательности) и сторонами a = AB, b = BC, c = CD и d = DA длины диагоналей p = AC и q = BD можно выразить через стороны p=(ac+bd)(ad+bc)ab+cd
p=(ac+bd)(ad+bc)ab+cd
и q=(ac+bd)(ab+cd)ad+bc
q=(ac+bd)(ab+cd)ad+bc
что даёт равенство Птолемея pq=ac+bd.
pq=ac+bd.
Согласно второй теореме Птолемея, pq=ad+bcab+cd
pq=ad+bcab+cd
при тех же обозначениях, что и прежде. Для суммы диагоналей имеем неравенство p+q2ac+bd.
p+q2ac+bd.
Неравенство становится равенством в том и только в том случае, когда диагонали имеют одинаковую длину, что можно показать, используя неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим. Более того, (p+q)2(a+c)2+(b+d)2.
(p+q)2(a+c)2+(b+d)2.
В любом выпуклом четырёхугольнике две диагонали делят четырёхугольник на четыре треугольника. Во вписанном четырёхугольнике противоположные пары этих четырёх треугольников подобны. Если M и N являются средними точками диагоналей AC и BD, то MNEF=12|ACBDBDAC|
MNEF=12ACBDBDAC
где E и F — точки пересечения противоположных сторон. Если ABCD — вписанный четырёхугольник и AC пересекает BD в точке P, то APCP=ABCBADCD.
APCP=ABCBADCD.

Формулы углов

Для вписанного четырёхугольника со сторонами a, b, c, d, полупериметром s и углом A между сторонами a и d тригонометрические функции угла A равны cosA=a2+d2b2c22(ad+bc),
cosA=a2+d2b2c22(ad+bc),
sinA=2(sa)(sb)(sc)(sd)(ad+bc),
sinA=2(sa)(sb)(sc)(sd)(ad+bc),
tanA2=(sa)(sd)(sb)(sc).
tanA2=(sa)(sd)(sb)(sc).
Для угла θ между диагоналями выполняется tanθ2=(sb)(sd)(sa)(sc).
tanθ2=(sb)(sd)(sa)(sc).
Если продолжения противоположных сторон a и c пересекаются под углом ϕϕ, то cosϕ2=(sb)(sd)(b+d)2(ab+cd)(ad+bc)
cosϕ2=(sb)(sd)(b+d)2(ab+cd)(ad+bc)
где s — полупериметр

Формула Парамешвара

Для вписанного четырёхугольника со сторонами a, b, c, d (в указанной последовательности) и полупериметром s радиус описанной окружности) задаётся формулой R=14(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)(sa)(sb)(sc)(sd).
R=14(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)(sa)(sb)(sc)(sd).
Формула была выведена индийским математиком в 15 веке. Используя формулу Брахмагупты, формулу Парамешвара можно преобразовать в 4KR=(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)
4KR=(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)
, где K — площадь вписанного четырёхугольника.

Антицентр и коллинеарность

Четыре отрезка прямых, перпендикулярных одной стороне вписанного четырёхугольника и проходящих через середину противоположной стороны, пересекаются в одной точке. Эта точка пересечения называется антицентром. Антицентр симметричен центру описанной окружности относительно ``вершинного центроида''. Таким образом, во вписанном четырёхугольнике центр описанной окружности, ``вершинный центроид'' и антицентр лежат на одной прямой. Если диагонали вписанного четырёхугольника пересекаются в точке P, а середины диагоналей — V и W, то антицентр четырёхугольника является ортоцентром треугольника VWP, а вершинный центроид находится в середине отрезка, соединяющего середины диагоналей . Во вписанном четырёхугольнике ``центроид площади'' Ga, ``центроид вершин'' Gv и пересечение P диагоналей лежат на одной прямой. Для расстояний между этими точками выполняется равенство PGa=43PGv.
PGa=43PGv.

Другие свойства


  • Во вписанном четырёхугольнике ABCD центры вписанных окружностей треугольников ABC, BCD, CDA и DAB являются вершинами прямоугольника. Это одна из теорем, известных как японская теорема. Ортоцентры тех же четырёх треугольников являются вершинами четырёхугольника, равного ABCD. Центроиды этих четырёх треугольников являются вершинами другого вписанного четырёхугольника.

  • Во вписанном четырёхугольнике ABCD с центром описанной окружности O пусть P — точка пересечения диагоналей AC и BD. Тогда угол APB является средним арифметическим углов AOB и COD. Это является прямым следствием теоремы о вписанном угле и .

  • Не существует вписанных четырёхугольников с рациональной площадью и неравными рациональными сторонами, образующими арифметическую, либо геометрическую прогрессию.

  • Если вписанный четырёхугольник имеет длины сторон, образующие арифметическую прогрессию, то четырёхугольник является также .

  • Если противоположные стороны вписанного четырёхугольника продолжить до пересечения в точках E и F, то внутренние биссектрисы углов в E и F перпендикулярны.

  • Пусть ABCDABCD — вписанный четырёхугольник, A1A1 — основание перпендикуляра, опущенного из вершины AA на диагональ BDBD; аналогично определяются точки B1,C1,D1B1,C1,D1. Тогда точки A1,B1,C1,D1A1,B1,C1,D1 лежат на одной окружности.

Четырёхугольники Брахмагупта

Четырёхугольник Брахмагупты — это вписанный четырёхугольник с целочисленными длинами сторон, целочисленными длинами диагоналей и целочисленной площадью. Все четырёхугольники Брахмагупты со сторонами a, b, c, d, диагоналями e, f, площадью K, и радиусом описанной окружности R можно получить путём избавления от знаменателя в следующих выражениях (при рациональных параметрах t, u и v): a=[t(u+v)+(1uv)][u+vt(1uv)]
a=[t(u+v)+(1uv)][u+vt(1uv)]
b=(1+u2)(vt)(1+tv)
b=(1+u2)(vt)(1+tv)
c=t(1+u2)(1+v2)
c=t(1+u2)(1+v2)
d=(1+v2)(ut)(1+tu)
d=(1+v2)(ut)(1+tu)
e=u(1+t2)(1+v2)
e=u(1+t2)(1+v2)
f=v(1+t2)(1+u2)
f=v(1+t2)(1+u2)
K=uv[2t(1uv)(u+v)(1t2)][2(u+v)t+(1uv)(1t2)]
K=uv[2t(1uv)(u+v)(1t2)][2(u+v)t+(1uv)(1t2)]
4R=(1+u2)(1+v2)(1+t2).
4R=(1+u2)(1+v2)(1+t2).

Свойства ортодиагональных вписанных четырёхугольников

Площадь и радиус описанной окружности

Пусть для вписанного четырёхугольника, являющегося также ортодиагональным (т.е. имеющим перпендикулярные диагонали), пересечение диагоналей делит одну диагональ на отрезки длиной p1 и p2, а другую делит на отрезки длиной q1 и q2. Тогда (первое равенство является Предложением 11 в книге Архимеда «Леммы») D2=p21+p22+q21+q22=a2+c2=b2+d2
D2=p21+p22+q21+q22=a2+c2=b2+d2
, где D — диаметр описанной окружности. Равенство выполняется ввиду того, что диагонали являются перпендикулярными хордами окружности. Отсюда следует, что радиус описанной окружности R удовлетворяет равенству R=12p21+p22+q21+q22
R=12p21+p22+q21+q22
или, через стороны четырёхугольника R=12a2+c2=12b2+d2.
R=12a2+c2=12b2+d2.
Отсюда также следует, что a2+b2+c2+d2=8R2.
a2+b2+c2+d2=8R2.
Таким образом, согласно формуле Эйлера, радиус можно выразить через диагонали p и q и расстояние x между серединами диагоналей R=p2+q2+4x28.
R=p2+q2+4x28.
Формула для площади K вписанного ортодиагонального четырёхугольника можно получить непосредственно через стороны, если скомбинировать теорему Птолемея (см. выше) и формулу площади ортодиагонального четырёхугольника. В результате получим K=12(ac+bd).
K=12(ac+bd).

Другие свойства


  • Во вписанном ортодиагональном четырёхугольнике антицентр совпадает с точкой пересечения диагоналей.

  • Теорема Брахмагупты утверждает, что во вписанном четырёхугольнике, являющемся также ортодиагональным, перпендикуляр от любой стороны через точку пересечения диагоналей делит противоположную сторону пополам.

  • Если вписанный четырёхугольник является также ортодиагональным, расстояние от центра описанной окружности до любой стороны равно половине длины противоположной стороны .

  • Во вписанном ортодиагональном четырёхугольнике расстояние между серединами диагоналей равно расстоянию между центром описанной окружности и точкой пересечения диагоналей .