Лемма Золотарёва

 В теории чисел, Лемма Золотарёва утверждает, что символ Лежандра

(ap)
  для целого числа a по модулю нечётного простого числа р, которое не делит a, можно вычислить как знак перестановки:

(ap)=ε(πa)
  где ε обозначает знак перестановки и π является перестановкой ненулевых вычетов по модулю р , полученной умножением на a.

Доказательство из леммы Гаусса


 Лемма Золотарева легко выводится из леммы Гаусса и наоборот. Например,

(311) ,
  является символом Лежандра (a / p) при а = 3 и р = 11. Начнём с множества \{1,2, \ldots, р-1\ в виде матрицы из двух строк, так, что сумма двух элементов любого столбца равна нулю по модулю р , например:
12345
109876

 Таким образом, W−1 = VU. Лемма Золотарёва утверждает, что (a / p) = 1 тогда и только тогда, когда перестановка U чётная. Лемма Гаусса утверждает, что (a / p) = 1,тогда и только тогда, когда V чётная. Но W чётная, так что обе леммы эквивалентны для данных (но произвольных) a и р.

Общий случай


 В общем случае, пусть G — любая конечная группа чётного порядка n. Пусть aG — элемент порядка d. С одной стороны, если n=2rq,2q, то a — не квадрат в G тогда и только тогда, когда 2rd, то есть nd нечётно, а d — чётно. С другой стороны, пусть πa:gag — перестановка, порождённая элементом a. Ясно, что πa может быть разложена в произведение $\frac{| Таким образом, \pi_aчётнатогдаитолькотогда,когдаa$ — квадрат.
 Утверждение для символа Лежандра получается, если в качестве G взять группу Zp× ненулевых вычетов по модулю p. Порядок этой группы равен p1, а потому чётный при p>2.

История


 Эта лемма использовалась Егором Ивановичем Золотарёвым в 1872 году в его новом доказательстве квадратичной взаимности.