Теорема Вейля о равномерном распределении

Теорема Вейля о равномерном распределении формулирует критерий равномерной распределённости бесконечной последовательности вещественных чисел из отрезка (0;1).
 Теорема была доказана в 1914 и опубликована в 1916 году Германом Вейлем.

Определения


 Пусть ξ1,ξ2, — бесконечная последовательность вещественных чисел из интервала (0;1)
 Для чисел a,b(0;1), a<b обозначим через φn(a,b)=#{k:1kn,ξk(a;b)} количество чисел из ξ1,,ξn, лежащих в отрезке (a;b).
 Определим предельное наибольшее отклонение как Dξ=limsupn(ϕn(a,b)n(ba)).
 Последовательность ξ1,ξ2, называется равномерно распределённой в (0;1) если Dξ=0. Иными словами, последовательность равномерно распределённа в (0;1) если в любом ненулевом отрезке доля элементов, попадающих в этот отрезок, стремится к доле размера отрезка в (0;1).

Формулировка теоремы


 Последовательность (ξn)n=1,ξn(0;1) равномерно распределена в (0;1) тогда и только тогда, когда для любой интегрируемой по Риману на отрезке (0;1) функции f выполняется тождество:

limn1nk=1nf(ξk)=01f(x)dx
  - \{int\_\{0\}\^\{1\} \{f(x) dx\} \}\{Bigg = \{Bigg\{ \{int\_\{0\}\^\{1\} \{f\_1(x) dx\} - \{int\_\{0\}\^\{1\} \{f(x) dx\} \}\{Bigg \textless \{varepsilon

N: n>N: |1nk=1nf1(ξk)01f(x)dx|<2ε
  Так как из определению f1 следует $\Bigg|{ \frac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} {f (\xi_k)} - \frac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} {f_1 (\xi_k)} }\Bigg| = \Bigg|{ \frac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} {(f (\xi_k) - f_1(\xi_k))} }\Bigg| < \frac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} {|
 : \Bigg|{ \frac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} {f (\xi_k)} - \int_{0}^{1} {f(x) dx} }\Bigg| < \varepsilon$,
 Так как в эти рассуждения можно подставить сколь угодно малое ε>0, то это и означает, что

limn1nk=1nf(ξk)=01f(x)dx
  \}\}

Следствия


Критерий с тригонометрическими суммами


 Теорема Вейля позволяет вывести прямую связь равномерности распределения с тригонометрическими суммами.
 Последовательность (ξn)n=1,ξn(0;1) равномерно распределена в (0;1) тогда и только тогда, когда для любого целого m0 выполнено

limn1nk=1ne2πmξki=0
  Доказательство последнего утверждения проводится аналогично доказательству основной теоремы (см. выше), только вместо аппроксимации кусочно-линейной функцией используется аппроксимация частичными суммами ряда Фурье.
 Константа 0 в формуле фактически является значением интеграла 01e2πmxidx=0.

agraphДробные части от кратных иррациональным
 Благодаря формулировке теоремы, использующей тригонометрические суммы, легко вывести следующий результат:
 Обозначим через {x} дробную часть числа x
 Если ξR — иррациональное число, то последовательность {ξ},{2ξ},{3ξ},,{nξ}, равномерно распределена в (0;1).
 \}\{Bigg\{vert = \{Bigg\{vert\{ \{frac\{e\^\{2 \{pi m \{xi\} - e\^\{2 \{pi m (n + 1) \{xi\}\}\{1 - e\^\{2 \{pi m \{xi\}\} \}\{Bigg\{vert = \{frac\{\{vert\{ e\^\{2 \{pi m \{xi\} - e\^\{2 \{pi m (n + 1) \{xi\} \}\{vert\}\{\{vert\{ e\^\{2 \{pi m \{xi\} - 1 \}\{vert\} \textless \{frac\{2\}\{\{vert\{ e\^\{2 \{pi m \{xi\} - 1 \}\{vert\}
 Так как величина |e2πmξ1| не зависит от n, то при каждом отдельном фиксированном m0 из неравенства выше следует

limn1nk=1ne2πmkξi=0
  \}\}