Processing math: 19%

Теорема Вейля о равномерном распределении

Теорема Вейля о равномерном распределении формулирует критерийравномерной распределённости бесконечной последовательности вещественныхчисел из отрезка (0;1).
 Теорема была доказана в 1914 и опубликована в 1916 году Германом Вейлем.

Определения


 Пусть ξ1,ξ2, — бесконечная последовательностьвещественных чисел из интервала (0;1)
 Для чисел a,b(0;1), a<b обозначим черезφn(a,b)=#{k:1kn,ξk(a;b)}количество чисел из ξ1,,ξn, лежащих в отрезке (a;b).
 Определим предельное наибольшее отклонение какDξ=lim.
 Последовательность \xi_1, \xi_2, \dots называется равномернораспределённой в (0;1) если D_{\xi} = 0. Иными словами,последовательность равномерно распределённа в (0;1) если в любомненулевом отрезке доля элементов, попадающих в этот отрезок, стремится кдоле размера отрезка в (0;1).

Формулировкатеоремы


 Последовательность\left({ \xi_n }\right)_{n=1}^{\infty}, \xi_n \in (0;1) равномернораспределена в (0;1) тогда и только тогда, когда для любойинтегрируемой по Риману на отрезке (0;1) функции f выполняетсятождество:

\lim \limits_{n \to \infty} {\frac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} {f(\xi_k)}} = \int \limits_{0}^{1} {f(x) dx}
 - \{int\_\{0\}\^\{1\} \{f(x) dx\}\}\{Bigg = \{Bigg\{\{int\_\{0\}\^\{1\} \{f\_1(x) dx\} -\{int\_\{0\}\^\{1\} \{f(x) dx\}\}\{Bigg \textless \{varepsilon

\exists N:\ \forall n>N:\ \Bigg|{ \frac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} {f_1 (\xi_k)} - \int_{0}^{1} {f(x) dx} }\Bigg| < 2 \varepsilon
 Так как из определению f_1 следует$\Bigg|{ \frac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} {f (\xi_k)} - \frac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} {f_1 (\xi_k)} }\Bigg| = \Bigg|{ \frac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} {(f (\xi_k) - f_1(\xi_k))} }\Bigg| < \frac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} {|
 : \Bigg|{ \frac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} {f (\xi_k)} - \int_{0}^{1} {f(x) dx} }\Bigg| < \varepsilon$,
 Так как в эти рассуждения можно подставить сколь угодно малое\varepsilon > 0, то это и означает, что

\lim \limits_{n \to \infty} {\frac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} {f (\xi_k)}} = \int_{0}^{1} {f(x) dx}
 \}\}

Следствия


Критерий с тригонометрическимисуммами


 Теорема Вейля позволяет вывести прямую связь равномерности распределенияс тригонометрическими суммами.
 Последовательность\left({ \xi_n }\right)_{n=1}^{\infty}, \xi_n \in (0;1) равномернораспределена в (0;1) тогда и только тогда, когда для любого целогоm \not = 0 выполнено

\lim \limits_{n \to \infty} {\frac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} {e^{2 \pi m \xi_k i}}} = 0
 Доказательство последнего утверждения проводится аналогичнодоказательству основной теоремы (см. выше), только вместо аппроксимациикусочно-линейной функцией используется аппроксимация частичными суммамиряда Фурье.
 Константа 0 в формуле фактически является значением интеграла\int \limits_{0}^{1} {e^{2 \pi m x i} dx} = 0.

agraphДробные части от кратныхиррациональным
 Благодаря формулировке теоремы, использующей тригонометрические суммы,легко вывести следующий результат:
 Обозначим через \left\lbrace{ x }\right\rbrace дробную часть числа x
 Если \xi \in {\mathbb R} — иррациональное число, топоследовательность\left\lbrace{ \xi }\right\rbrace, \left\lbrace{ 2 \xi }\right\rbrace, \left\lbrace{ 3 \xi }\right\rbrace, \dots, \left\lbrace{ n \xi }\right\rbrace, \dotsравномерно распределена в (0;1).
 \}\{Bigg\{vert =\{Bigg\{vert\{\{frac\{e\^\{2 \{pi m \{xi\}- e\^\{2 \{pi m (n + 1) \{xi\}\}\{1 -e\^\{2 \{pi m \{xi\}\}\}\{Bigg\{vert =\{frac\{\{vert\{ e\^\{2 \{pim \{xi\} - e\^\{2 \{pi m (n + 1)\{xi\} \}\{vert\}\{\{vert\{e\^\{2 \{pi m \{xi\} - 1\}\{vert\} \textless\{frac\{2\}\{\{vert\{ e\^\{2\{pi m \{xi\} - 1 \}\{vert\}
 Так как величина \vert{ e^{2 \pi m \xi} - 1 }\vert не зависит от n,то при каждом отдельном фиксированном m \not = 0 из неравенства вышеследует

\lim \limits_{n \to \infty} {\frac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} {e^{2 \pi m k \xi i}}} = 0
 \}\}