Математические термины и обозначения

Математические обозначения («язык математики») — сложнаяграфическая система обозначений, служащая для изложения абстрактныхматематических идей и суждений в человеко-читаемой форме. Составляет (посвоей сложности и разнообразию) значительную долю неречевых знаковыхсистем, применяемых человечеством. В данной статье описываетсяобщепринятая международная система обозначений, хотя различные культурыпрошлого имели свои собственные, и некоторые из них даже имеютограниченное применение до сих пор.Отметим, что математические обозначения, как правило, применяютсясовместно с письменной формой какого-то из естественных языков.Помимо фундаментальной и прикладной математики, математическиеобозначения имеют широкое применение в физике, а также (в неполном своёмобъёме) в инженерии, информатике, экономике, да и вообще во всехобластях человеческой деятельности, где применяются математическиемодели. Различия между собственно математическим и прикладным стилемобозначений будут оговорены по ходу текста.

Общиесведения

Система складывалась, наподобие естественных языков, исторически (см.история математических обозначений), и организована наподобиеписьменности естественных языков, заимствуя оттуда также многие символы(прежде всего, из латинского и греческого алфавитов). Символы, также каки в обычной письменности, изображаются контрастными линиями наравномерном фоне (чёрные на белой бумаге, светлые на тёмной доске,контрастные на мониторе и т. д.), и значение их определяется в первуюочередь формой и взаимным расположением. Цвет во внимание не принимаетсяи обычно не используется, но, при использовании букв, такие иххарактеристики как начертание и даже гарнитура, не влияющие на смысл вобычной письменности, в математических обозначениях могут игратьсмыслоразличающую роль.

Структура

Обыкновенные математические обозначения (в частности, так называемыематематические формулы) пишутся в общем в строку слева направо,однако не обязательно составляют последовательную строку символов.Отдельные блоки символов могут располагаться в верхней или нижнейполовине строки, даже в случае, когда символы не перекрываютсявертикалями. Также, некоторые части располагаются целиком выше или нижестроки. С грамматической же стороны почти любую «формулу» можно считатьиерархически организованной структурой типа дерева.

Стандартизация

Математические обозначения представляют систему в смысле взаимосвязисвоих компонент, но, в целом, не составляют формальную систему (впонимании самой математики). Они, в сколь-нибудь сложном случае, немогут быть даже разобраны программно. Как и любой естественный язык,«язык математики» полон несогласованных обозначений, омографов,различных (в среде своих носителей) трактовок того, что считатьправильным и т. п. Нет даже сколь-нибудь обозримого алфавитаматематических символов, и в частности оттого, что не всегда однозначнорешается вопрос, считать ли два обозначения разными символами или жеразными написаниями одного символа.Некоторая часть математических обозначений (в основном, связанная сизмерениями) стандартизована в ISO 31-11, однако в целом стандартизацияобозначений скорее отсутствует.

Элементы математическихобозначений

Числа

Для записи целых чисел как правило применяется десятичная системасчисления с арабскими цифрами. Подряд записанная строка цифринтерпретируется как число; возможные исключения оговорены ниже.При необходимости применить систему счисления с основанием, меньшимдесяти, основание записывается в нижний индекс: 200038.Системы счисления с основаниями, большими десяти, в общепринятойматематической записи не применяются (хотя, разумеется, изучаются самойнаукой), поскольку для них не хватает цифр. В связи с развитиеминформатики, стала актуальной шестнадцатеричная система счисления, вкоторой цифры от 10 до 15 обозначаются первыми шестью латинскими буквамиот A до F. Для обозначения таких чисел в информатике используетсянесколько разных подходов, но в математику они не перенесены.Десятичная дробь употребляется для обозначения вещественных чисел вприкладных областях (означая, как правило, приближённое значение, чтоособо не оговаривается). В математике, если нецелое рациональное числооказалось кратным отрицательной степени десяти, то оно также может бытьзаписано десятичной дробью. Вид разделителя целой и дробной частей(точка или запятая) зависит от традиции, принятой в используемом языке.В приложениях очень большие или очень малые (по абсолютной величине)часто записываются в экспоненциальной записи: 1,6103.Иногда (особенно вычислители) вместо «умножить на десять в степени»пишут букву «E», то есть 1,6103=1,6E3, но вбольшинстве областей (включая «чистую» математику) такая запись неупотребляется.Математика же стремится более к точности, чем к лёгкости обозначений, ипоэтому нужное число по мере возможности будет записано в видевыражения, нежели приближённо.

Атомарныесимволы

Из буквенных символов употребляются, в основном, латинские и греческиебуквы. Регистр важен. Латинские буквы «I» (прописное «ай») и «l»(строчное «эл») в прямом начертании пишутся с засечками, дабы непутались с вертикальной чертой «\{\{!\}\}» и друг с другом, и вообщестремятся использовать начертания, как можно меньше похожие на другиеиспользуемые символы. Готические буквы считаются отдельными буквами. Впринципе, никаких ограничений на используемые алфавиты нет.Также можно считать атомарными слова, записанные латинскими буквами, —общепринятые обозначения некоторых функций и операторов, например «log»(на письме они не разбиваются пробелами, не переносятся и т. д.); см.список математических аббревиатур. Такие слова записываются прямым (некурсивным) шрифтом строчными буквами (за исключением, возможно, первойбуквы, которая может быть прописной). Существуют также диграфы,состоящие из нелатинских символов.Не стоит использовать символы вроде «Ȉ» (английское «ай» с точками), таккак подобные символы могут быть легко перепутаны с производными (см.ниже).

Надстрочные и подстрочныезнаки

Скобки, подобные им символы иразделители

Круглые скобки «» используются:

  • для группировки (то есть, для указания последовательности операций) (подробнее см. в статье о приоритете операций);
  • в синтаксисе функций;
  • в других случаях.
Квадратные скобки «[]» нередко применяются в значении группировки,когда приходится использовать много пар скобок. В таком случае ониставятся снаружи и (при аккуратной типографике) имеют большую высоту,чем скобки, стоящие внутри.Квадратные «[]» и круглые «» скобки используются при обозначениизакрытых и открытых промежутков соответственно.Фигурные скобки «\{\}» используются, как правило, для определениямножеств, хотя в отношении них справедлива та же оговорка, что и дляквадратных скобок. Левая «\{» и правая «\}» скобки могут использоватьсяпо отдельности; их назначение описано ниже.Символы угловых скобок «» при аккуратнойтипографике должны иметь тупые углы и тем отличаться от схожих символовнеравенства, имеющих прямой или острый угол. На практике же на это неследует надеяться (особенно, при ручной записи формул) и различать ихприходится при помощи интуиции.Часто используются пары симметричных (относительно вертикальной оси)символов, в том числе и отличных от перечисленных, для выделения кускаформулы. Назначение парных скобок описано ниже.Запятая ", " используется в качестве разделителя. При применениизапятой, как разделителя в десятичной дроби (например, в русскойтрадиции), пробелы вокруг запятой не ставятся. Во всех иных случаях(например, при применении запятой, как разделителя аргументов функции)справа от запятой делается небольшой пробел, слева же пробел обычно неставится.Двоякую роль играет символ вертикальной черты «\{\{!\}\}». В зависимостиот контекста, он может являться как скобкой (например, абсолютнаявеличина |x|, определитель матрицы |M|), так и разделителем вразличных конструкциях или же обозначением начала/конца матрицы.

Индексы

В зависимости от расположения различают верхние и нижние индексы.Верхний индекс может означать (но необязательно означает) возведение встепень, об остальных случаях использования см. ниже.В отличие от обыкновенной типографики, в математике нередко в качестве«индекса» выступает целое выражение, нередко содержащие дроби исобственные индексы, что приводит к измельчению символов и вообще немалоусложняет визуальное распознавание формул.

Взаимное расположениесимволов

Итак, основные модели расположения символов:

  • в строку;
  • в несколько связанных строк (см. пример);
  • внутри скобок (возможны случаи расположения как в один ряд, так и в несколько);
  • строка символов сверху или снизу от расположенного в строке символа (обычно увеличенного размера);
  • строка символов меньшей высоты (кегля) пишется справа вверху или справа внизу от символа большей высоты (см. выше);
  • две подстроки друг над другом, разделённые горизонтальным прямым отрезком — значение см. в этой статье).

Синтаксис

Константы

Константы — величины, фиксированные уже на момент записи формулы, вчастности числовые. О записи целых чисел было сказано выше, однако еслионо содержит слишком много цифр, то может быть представлено в видеарифметического выражения, например, 21271.Если записываемое число заведомо является рациональным, то в математикев подавляющем большинстве случаев оно будет записано точно, то есть, какправило, в виде простой дроби (если число нецело).Алгебраическое число, при возможности, будет записано через корни.Аналогично, любое другое число может быть записано в виде выражения,дающего его точное значение.Комплексное число может быть записано как a+ib, где a и b —вещественные константы, но может быть применена запись через аргумент имодуль комплексного числа.При необходимости вокруг записи константы ставятся скобки, и, в общем,запись констант в виде выражений в чистой математике ничем не отличаетсяот записи любых иных выражений.Ряд математических констант имеют буквенные именные обозначения — см.число Пи (π), число Эйлера (e) и ряд других. В науках,использующих математический аппарат, существует множество своихименованных и обозначаемых буквами констант. Например, см.Фундаментальные физические постоянные.

Переменные

В науках встречаются наборы величин, и любая из них может принимать илинабор значений и называться переменной величиной (вариантой), илитолько одно значение и называться константой. В математике отфизического смысла величины часто отвлекаются, и тогда переменнаявеличина превращается в отвлечённую (или числовую) переменную,обозначаемую каким-нибудь символом, не занятым специальнымиобозначениями, о которых было сказано выше.Переменная X считается заданной, если указано множествопринимаемых ею значений \{x\. Постоянную же величину удобнорассматривать как переменную, у которой соответствующее множество\{x\ состоит из одного элемента.

Функции иоператоры

В математике не усматривается существенного различия междуоператором (унарным), отображением и функцией.Однако, подразумеваются, что если для записи значения отображения отзаданных аргументов необходимо указывать круглые скобки, то символ оногоотображения обозначает функцию, в иных случаях скорее говорят обоператоре. Символы некоторых функций одного аргумента употребляются и соскобками и без. Многие элементарные функции, например sinx илиsin(x), но элементарные функции всегда называются функциями.
agraphОператоры и отношения (унарные ибинарные)Бинарные операторы и отношения записываются в инфиксной форме, если дляних не применяется синтаксис функций. Унарные операторы записываются какпопало; в алгебре же обычно знак оператора ставится слева от аргумента(префиксная запись). Оператор дифференцирования записывается штрихомf (обычно подразумевается дифференцирование по переменной x илипросто по единственному аргументу функции) или точкой наверху f˙(обычно подразумевается дифференцирование по переменной t — времени).Об использовании арифметических операций и элементарных, а такженекоторых иных «стандартных» функций см. статью «математическаяформула».
agraphФункцииФункция может упоминаться в двух смыслах: как выражение её значения призаданных аргументах (пишется f(x), f(x,y) и т. п.) или собственнокак функция. В последнем случае ставится только символ функции, безскобок (хотя зачастую пишут как попало).Имеется много обозначений общепринятых функций, используемых вматематических работах без дополнительных пояснений. В противном случаефункцию надо как-то описывать и в фундаментальной математике онапринципиально не отличается от переменной и точно также обозначаетсяпроизвольной буквой. Для обозначения функций-переменных наиболеепопулярна буква f, также часто применяются g и большинство греческих.

Предопределённые (зарезервированные)обозначения

Однако, однобуквенным обозначениям может быть, при желании, придандругой смысл. Например, буква i часто используется как обозначениеиндекса в контексте, где комплексные числа не применяются, а буква πможет быть использована как переменная в какой-нибудь комбинаторике.Также, символы теории множеств (такие как «» и «»)и исчисления высказываний (такие как «» и «») могутбыть использованы в другом смысле, обычно как отношение порядка ибинарные операции соответственно.

Индексирование

Индексирование графически изображается индексами (обычно нижними, иногдаи верхними) и является, в некоторым смысле, способом расширитьинформационное наполнение переменной. Однако, употребляется оно в трёхнесколько различных (хотя и перекрывающихся) смыслах.
agraphСобственнономераМожно иметь несколько разных переменных, обозначая их одной буквой,аналогично использованию надстрочных знаков. Например:x1, x2, x3. Обычно они связаны какой-то общностью, новообще это не обязательно.Более того, в качестве «индексов» можно использовать не только числа, нои любые символы. Однако, когда в виде индекса пишется другая переменнаяи выражение, данная запись интерпретируется как «переменная с номером,определяемым значением индексного выражения».
agraphВ тензорноманализеВ линейной алгебре, тензорном анализе, дифференциальной геометрии синдексами (в виде переменных) записываются тензорные величины, причём ихколичество обозначает ранг тензора. Также употребляются и верхниеиндексы.В записи произведения тензорных величин интерпретация зависит отсовпадения используемых индексных переменных. Если они все различны, топодразумевается тензорное произведение. Если одна переменная встречаетсядважды (например: AlkBml), то по ней проводится свёртка.Возможна также запись типа Akk — след матрицы. Данноеобозначение традиционно называют «суммированием по повторяющимсяиндексам», поскольку в фиксированном базисе именно так и выглядит.
agraphПараметры

Конструкции с использованием зеркальных (парных)символов

Значения скобкообразных конструкций, отличные от указанияпоследовательности операций (группировки). Если аргументов более одного,то символом разделителя является запятая ", ", если иное не оговорено.Круглые скобки «»:

  • скалярное произведение (2 аргумента);
  • упорядоченная пара (2 аргумента) и т. д. (больше аргументов).
Квадратные скобки «[]»:

  • коммутатор (2 аргумента) и подобные операции.
При отсутствии специальных символов скобки « » могутиспользоваться для обозначения целой части числа.Фигурные скобки «\{\}»:

  • множества (произвольное количество аргументов через запятую, или же «\{выражениеусловие\}»);
  • антикоммутатор (2 аргумента).
Угловые скобки «〈〉»:

  • бра и кет (2 или 3 аргумента; разделитель — вертикальная черта «\{\{!\}\}»), эрмитова форма (2 аргумента);
  • кортеж (в математической логике и т. п.; аргументов сколько угодно, хоть 0).
Палки ``'' и двойные палки «|| ||»:

  • абсолютная величина («модуль»), норма (1 аргумент).

Множества

Множество может быть обозначено, как и другие объекты, в видепредопределённого обозначения, переменной (атомарным символом), в видерезультата операции над множествами и т. п. Когда требуется построитьмножество, используется конструкция , обозначающее множество всехзначений выражения, для которых условие истинно. Переменные,используемые внутри данного выражения, могут быть локальными.Допустима также запись , где

  • x — локальная переменная (значения которой формируют искомое множество);
  • M — некоторое заранее определённое множество, которое переменная x пробегает.
Множество можно записать и как перечисление: «\{элемент\}», , и т. п.Символы, обозначающие операции над множествами, описаны в статье«Операции над множествами».

Конструкции математическойлогики


agraphЛогическиесвязкиДля записи логических выражений, составляемых из значений предикатов,бинарных отношений и т. п., используются логические связки. Бинарныесвязки записываются в инфиксной форме. Общеприняты:

  • конъюнкция «\&» (также «», особенно в булевой логике);
  • дизъюнкция «» (символ «\{\{!\}\}», в отличие от программирования, в данном значении не употребляется);
  • импликация: «» (как содержательное утверждение), «→» (суждение формальной теории); в случае когда против обыкновения посылка стоит справа, а следствие — слева, направление стрелки меняется: «», «»;
  • отрицание «¬» (унарная связка, употребляемая в префиксной форме; многие символы бинарных отношений, особенно символ равенства и символ порядка, имеют разновидность со встроенным отрицанием, получаемым обычно перечёркиванием символа).
Пропозициональные константы, а также другие виды логических связок,общепринятых обозначений не имеют (кроме, возможно, области, собственно,математической логики).
agraph\texorpdfstring«И» и «или» при записиуравнений«И» и «или» при записи уравненийТа же самая конъюнкция при записи т. н. системы уравнений обычнообозначается непарной открывающейся фигурной скобкой «\{».Аналогично, дизъюнкция может обозначаться непарной открывающейсяквадратной скобкой «[».Также существует конструкция, аналогичная тернарной условной операции внекоторых языках программирования:ϑ(x)={0,x<01,x0
agraphКванторы

  • Квантор всеобщности «∀» (при записи тождеств часто опускается и подразумевается по всем переменным)
  • Квантор существования «∃», существует также форма со встроенным отрицанием «».
  • Существование и единственность «∃!» (диграф).

agraphВывод

Неформульныеобозначения

Перевод в неграфическуюформу

Устноепрочтение

Электронноекодирование

Наиболее распространённой системой оного является TeX и его расширения.