Символы Кристоффеля

Символы Кристоффеля являются координатными выражениями аффинной связности, в частности, связности Леви-Чивиты. Названы в честь Элвина Бруно Кристоффеля (1829—1900). Используются в дифференциальной геометрии, общей теории относительности и близких к ней теориях гравитации. Появляются в координатном выражении тензора кривизны. При этом сами символы тензорами не являются. Ниже используется правило суммирования Эйнштейна, то есть по повторяющимся индексам подразумевается суммирование.

Элементарное понятие о символах Кристоффеля

Введение

Наглядное представление о символах Кристоффеля можно получить на примере полярной системы координат. В этой системе координатами точки являются расстояние rr от неё до полюса и угол φφ направления от полярной оси. Координатами вектора, как и в прямоугольной системе координат, следует считать дифференциалы (бесконечно малые приращения) этих величин: (dr,dφ)(dr,dφ). Пусть есть вектор AA с компонентами (a,α)(a,α), где aa имеет геометрический смысл проекции вектора AA на радиальный луч (проходящий через начало вектора), а αα — угол, под которым вектор виден из полюса. В прямоугольной системе координат компоненты вектора не меняются при параллельном переносе. В полярной системе координат это не так (см. рис 1 и 2). Символы Кристоффеля как раз и выражают изменение компонент вектора при его параллельном переносе.

Параллельный перенос вдоль координатных линий

При смещении вектора вдоль радиального луча на расстояние drdr, его компонента aa, очевидно, не меняется, но вторая его координата (αα) уменьшается (рис. 1). Величина вектора |A|2=a2+r2α2|A|2=a2+r2α2 остаётся неизменной, поэтому a2+(r+dr)2(α+dα)2=a2+r2α2a2+(r+dr)2(α+dα)2=a2+r2α2. Отсюда получается (пренебрежением величинами второго и большего порядков малости): dα=1rαdr.dα=1rαdr. При параллельном переносе вдоль дуги меняются обе координаты aa и αα (рис. 2). Очевидно, α=Arsinλα=Arsinλ, a=Acosλa=Acosλ, и dλ=dφdλ=dφ поэтому: dα=1radφ.dα=1radφ. Кроме этого, так как a=Acosλa=Acosλ, dλ=dφdλ=dφ, и Asinλ=rαAsinλ=rα, то da=(r)αdφ.da=(r)αdφ.

Параллельный перенос в произвольном направлении

При произвольном малом смещении вектора (когда меняются и rr, и φφ) изменения компонент надо складывать: da=(r)αdφ.da=(r)αdφ. dα=1rαdr1radφ.dα=1rαdr1radφ. Полученные выражения имеют общую структуру: изменение компонент вектора пропорционально всем компонентам вектора и пропорционально величине сдвига вектора. Коэффициенты пропорциональности (без общего минуса) и называются символами Кристоффеля. В более общих обозначениях x1=rx1=r, x2=φx2=φ, A1=aA1=a и A2=αA2=α можно записать (имея в виду сумму по повторяющимся индексам): dAi=ΓiklAkdxl.dAi=ΓiklAkdxl. Здесь символы Кристоффеля Γ122=rΓ122=r, Γ212=Γ221=1/rΓ212=Γ221=1/r, а все остальные равны нулю. В прямоугольной системе координат все символы Кристоффеля равны нулю, так как компоненты вектора не изменяются при параллельном переносе. Из этого можно сделать вывод, что символы Кристоффеля не образуют тензор: если тензор равен нулю в какой-либо системе координат, то он равен нулю во всех остальных системах координат.

Символы Кристоффеля первого и второго рода

Символы Кристоффеля второго рода ΓkijΓkij можно определить как коэффициенты разложения ковариантной производной координатных векторов i=xii=xi по базису: ji=Γkijkji=Γkijk Символы Кристоффеля первого рода Γn,ijΓn,ij Γn,ij=gknΓkij=12(ginxj+gjnxigijxn)Γn,ij=gknΓkij=12(ginxj+gjnxigijxn)

Выражение через метрический тензор

Символы Кристоффеля связности Леви-Чивиты для карты xi могут быть определены из отсутствия кручения, то есть: Γijk=Γikj. и того условия, что ковариантная производная метрического тензора gik$равнанулю:\nabla_\ell g_{ik}=\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^\ell}- g_{mk}\Gamma^m {}_{i\ell} - g_{im}\Gamma^m {}_{k\ell}=0.Длясокращениязаписисимволнабла\nablaисимволычастныхпроизводныхчастоопускаются,вместонихперединдексом,покоторомупроизводитсядифференцирование,ставитсяточкасзапятой«;»вслучаековариантнойизапятая","вслучаечастнойпроизводной.Такимобразом,выражениевышеможнотакжезаписатькак:g_{ik;\ell} = g_{ik,\ell} - g_{mk} \Gamma^m {}_{i\ell} - g_{im} \Gamma^m {}_{k\ell} = 0.ЯвныевыражениядлясимволовКристоффелявторогородаполучаются,еслисложитьэтоуравнениеидругиедвауравнения,которыеполучаютсяциклическойперестановкойиндексов:{Gamma\^i{}_{k{ell}={frac{1}{2}g\^{im}{left({frac{{partialg_{mk}}{{partialx\^{ell}+{frac{{partialg_{m{ell}}{{partialx\^k}{frac{{partialg_{k{ell}}{{partialx\^m}{right)={1{over2}g\^{im}(g_{mk,{ell}+g_{m{ell,k}g_{k{ell,m}),гдеg^{ij}\контравариантноепредставлениеметрики,котороеестьматрица,обратнаякg_{ij}\,находитсяпутёмрешениясистемылинейныхуравненийg^{ij}g_{jk}=\delta^i_k\$.

Связь с безындексными обозначениями

Формальные, безындексные определения связности абстрагируются от конкретной системы координат и поэтому более предпочтительны при доказательстве математических теорем. Пусть X и Y — векторные поля с компонентами Xi$иY^k\$. Тогда k-я компонента ковариантной производной поля Y по отношению к X задается выражением (XY)k=XiiYk=Xi(Ykxi+ΓkimYm).$Условиеотсутствиякрученияусвязности:\nabla_X Y - \nabla_Y X = [X,Y]\эквивалентносимметричностисимволовКристоффеляподвумнижниминдексам:\Gamma^i {}_{jk}=\Gamma^i {}_{kj}.$

Замена координат

Несмотря на то, что символы Кристоффеля записываются в тех же обозначениях, что и компоненты тензоров, они не являются тензорами, потому что не преобразуются как тензоры при переходе в новую систему координат. В частности, выбором координат в окрестности любой точки символы Кристоффеля могут быть локально сделаны равными нулю (или обратно ненулевыми), что невозможно для тензора. При замене переменных (x1,...,xn)$на(y^1,...,y^n)\,базисныевекторыпреобразуютсяковариантно,\frac{\partial}{\partial y^i} = \frac{\partial x^k}{\partial y^i}\frac{\partial}{\partial x^k}\$ откуда следует формула преобразования символов Кристоффеля: \{overline\{\{Gamma\^k \{\}\_\{ij\}\} = \{frac\{\{partial x\^p\}\{\{partial y\^i\}\{, \{frac\{\{partial x\^q\}\{\{partial y\^j\}\{, \{Gamma\^r \{\}\_\{pq\}\{, \{frac\{\{partial y\^k\}\{\{partial x\^r\} + \{frac\{\{partial y\^k\}\{\{partial x\^r\}\{, \{frac\{\{partial\^2 x\^r\}\{\{partial y\^i \{partial y\^j\} \{ Черта означает систему координат y. Таким образом, символы Кристоффеля не преобразуются как тензор. Они представляют собой более сложный геометрический объект в касательном пространстве с нелинейным законом преобразования от одной системы координат к другой. Примечание. Можно заметить, например, из определения, что первый индекс является тензорным, то есть по нему символы Кристоффеля преобразуются как тензор.

Символы Кристоффеля в различных системах координат

Пользуясь выражением символа через метрический тензор, либо преобразованием координат, можно получить значения их в любой системе координат. В механике и физике чаще всего используются ортогональные криволинейные системы координат. В этом случае символы Кристоффеля с равными коэффициентами выражаются через коэффициенты Ламе (диагональные элементы метрического тензора) Hβ, а все остальные равны нулю. Символы Кристоффеля первого рода выражаются так: Γββ,γ=HβHγHβxγ, при βγ. Γβγ,β=HβHβxγ. Символы Кристоффеля второго рода: Γγββ=HβH2γHβxγ, при βγ. Γββγ=Γβγβ=1HβHβxγ Значения для распространённых систем координат:

  • В декартовой системе координат {x,y,z}: Γkij0, поэтому ковариантная производная совпадает с частной производной.
  • В цилиндрической системе координат {r,ϕ,z}: Γ122=r, Γ221=Γ212=1r. Остальные равны нулю.
  • В сферической системе координат {r,θ,ϕ}: Γ122=r, Γ133=rsin2θ, Γ221=Γ212=Γ313=Γ331=1r, Γ233=cosθsinθ, Γ323=Γ332=ctgθ. Остальные равны нулю.