Инвариант

Инвариант — это свойство некоторого класса (множества) математических объектов, остающееся неизменным при преобразованиях определённого типа.

Определение

Пусть A — множество и G — множество отображений из A в A. Отображение f из множества A в множество B называется инвариантом для G, если для любых aA и gG выполняется тождество f(a)=f(g(a)). Инварианты используются в различных областях математики, таких как геометрия, топология и алгебра. Открытие инвариантов является важным шагом в процессе классификации математических объектов.

Примеры


  • Площадь треугольника является инвариантом по отношению к изометриям евклидова пространства.
  • Мощность множества является инвариантом относительно биекций.
  • Определитель, след, собственные вектора и собственные значения матрицы инвариантны относительно выбора базиса.
  • В теории дифференциальных уравнений инвариантом называется функция, зависящая от искомой функции, значение которой постоянно (первый интеграл).
  • Мера Лебега инвариантна относительно сдвигов.
  • Сингулярные числа матрицы инвариантны относительно ортогональных преобразований.
  • Теория инвариантов занимается поиском инвариантных многочленов (или просто «инвариантов») и изучением образованной ими алгебры для случая линейных представлений алгебраических групп, а также действий алгебраических групп на алгебраических многообразиях.
  • Топологический инвариант — см. Словарь терминов общей топологии.
  • Задачи на инвариант представляют собой большой класс задач в олимпиадной математике.
  • Число Хардвигера и хроматическое число являются инвариантами графа при перенумерации его вершин.
  • Инвариант эллиптической кривой — число J(E)=17284a34a3+27b2(modp). См. ГОСТ Р 34.10-2001.