Задача о предписанной скалярной кривизне

Задача о предписанной скалярной кривизне заключается в построении римановой метрики с заданной скалярной кривизной. Эта задача в основном решена в статье Каждана и Уорнера.

Формулировка

Для данного закрытого, гладкого многообразия M и гладкой вещественной функции f:M\R построить риманову метрику на M, для которой скалярная кривизна равна f.

Решения 


  • Если размерность многообразия M три или выше, то любая гладкая функция f:M\R, принимающая отрицательное значение является скалярной кривизной некоторой римановой метрики.
Предположение о том, что f должна быть отрицательна в каких-то точках, необходимо, поскольку не все многообразия допускают метрику со строго положительной скалярной кривизной. Например, таким является трёхмерный тор. Однако верно следующее.

  • Если M допускает одну метрику со строго положительной скалярной кривизной, то любая гладкая функция f:M\R является скалярной кривизной некоторой римановой метрики на M.