Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

Современное состояние исследований в данной области

 Теоретико-числовой метод приближенного анализа был создан в конце 50-ых — начале 60-ых годов в рамках работы семинара под руководством Н. С. Бахвалова, Н. М. Коробова и Н. Н. Ченцова. Этот семинар был организован по предложению Н. Н. Ченцова, который работал в группе И. М. Гельфанда по математическому обеспечению отечественного атомного проекта.
  Выделение класса Eαs периодических функций с быстро сходящимися рядами Фурье позволило, используя средства гармонического анализа и аналитической теории чисел, получить оптимальные результаты в теории многомерных квадратурных формул. В этой области работали многие известные математики в нашей стране и за рубежом: Н. М. Коробов, Н. С. Бахвалов, Н. Н. Ченцов, Хуа Ло Кен, Э. Главка, К. К. Фролов, В. А. Быковский и многие другие. Вопросы построения многомерных квадратурных формул тесно связаны с теорией равномерного распределения, основанной Г. Вейлем. В этой области хорошо известны фундаментальные работы К. Рота по оценке квадратичного отклонения и В. Шмидта по оценке q-ого отклонения.
 Теоретико-числовые алгоритмы численного интегрирования имеют существенное значение при расчете интегралов взаимодействия в квантовой химии и при расчете наноразмерных ферромагнитных гетеросистем. Другой класс интегралов, где применимы эти методы, возникает в физике высоких энергий.
 Вычисление многочленов Туэ и Рота имеет принципиальное значение в теории диофантовых приближений. Теоремы существования многочленов Туэ и Рота, основанные на искусном применении принципа Дирихле, позволили доказать знаменитую теорему Туэ — Зигеля — Рота о приближении алгебраических иррациональностей.
 Как показали в 60-х годах 20-го столетия М. Н. Добровольский и В. Д. Подсыпанин, многочлены Туэ любого порядка можно конструктивно вычислять через основные многочлены. Эти результаты позволили им впервые получить матричные разложения кубических и биквадратичных иррациональностей.
 Дальнейшее развитие этой теории и построения аналога для многочленов Рота должно сыграть принципиальную роль в теории диофантовых приближений алгебраических иррациональностей чисто вещественных алгебраических полей.
 Решение этой научной проблемы имеет принципиальное значение для теоретико-числового метода приближенного анализа, так как метод Фролова опирается на использование алгебраических сеток, порожденных чистовещественными алгебраическими полями.
 Вопросы   приближения   алгебраических   решеток   целочисленными   имеет принципиальное значение для метода оптимальных коэффициентов Н. М. Коробова.
 Как показано в ряде работ Н. М. Добровольского и его учеников для равномерно распределенных последовательностей играют важную роль р-ичные группы преобразований отрезка и многомерных кубов. Изучение таких групп имеет прямое отношение к научной проблеме исследований тульской школы теории чисел.
 Матричные разложения алгебраических иррациональностей были введены М. Н. Добровольским и В. Д. Подсыпаниным в 60-х годах 20-го столетия. Их исследования практически не были опубликованы и сохранились только в личном научном архиве М. Н. Добровольского. В настоящее время это оригинальное обобщение цепных дробей интенсивно разрабатывается представителями тульской школы теории чисел.
 Исследования по матричным разложениям алгебраических иррациональностей и функциональному уравнению гиперболической дзета-функции решеток целиком принадлежат представителям тульской школы теории чисел и предыдущие результаты в этой области позволяют предполагать, что намеченная в ряде статей программа исследований должна привести к цели.