Современная тульская школа теории чисел

 Возрождение тульской школы теории чисел началось с 1980 года, когда Н. М. Добровольский перешёл на работу в ТГПИ им. Л. Н. Толстого на кафедру геометрии и элементарной математики. В этом значительную роль сыграли декан факультета, кандидат физико-математических наук, доцент А. Е. Устян, заведующий кафедрой алгебры, кандидат физико-математических наук, доцент А. Р. Есаян и заведующий кафедрой геометрии и элементарной математики, доцент И. И. Гайдуков.
 Важную роль в возрождении тульской школы теории чисел сыграли профессора, доктора физико-математических наук М. Д. Гриндлингер и Н. М. Коробов. В 1981 году Н. М. Добровольский поступил в аспирантуру к М. Д. Гриндлингеру, которой предоставил полную свободу творчества, благодаря этому продолжились занятия Н. М. Добровольского в семинаре у Н. М. Коробова в МГУ им. М. В. Ломоносова.
 Дело в том, что Н. М. Добровольский познакомился с профессором Н. М. Коробовым ещё в десятом классе, когда по совету своего первого учителя по теории чисел, профессора А. А. Карацубы стал посещать лекции в Московском университете. Затем были годы обучения на механико-математическом факультете МГУ, где Н. М. Коробов был научным руководителем у студента Н. М. Добровольского. После недолгого перерыва в 1975 году совместное сотрудничество с Н. М. Коробовым возобновилось и продлилось ещё 29 лет до кончины Н. М. Коробова 25 октября 2004 года.
 В 1985 году 21 октября Н. М. Добровольский защитил кандидатскую диссертацию на тему "Теоретико-числовые сетки и их приложения" в диссертационном совете МГПИ им. В. И. Ленина. Это произошло через 14 лет после защиты в этом же совете 18 января 1971 г. кандидатской диссертации своего отца Добровольского М. Н. (27.10.1922 — 18.01.1975). Научный руководитель Н. М. Добровольского — профессор М. Д. Гриндлингер, оппоненты — профессор Н. М. Коробов и кандидат физико-математических наук К. К. Фролов.
  В 1986 году началось сотрудничество Н. М. Добровольского с В. С. Ваньковой, которая стала соискателем у профессора В. И. Нечаева — заведующего кафедрой теории чисел в МГПИ им. В. И. Ленина. Пять лет каждую пятницу В. С. Ванькова и Н. М. Добровольский ездили на семинар по тригонометрическим суммам и их приложению, который вёл в МГУ уже на протяжении 20 лет профессор Н. М. Коробов. В это время к руководству семинара присоединился и профессор Д. А. Митькин, с которым Н. М. Добровольский учился в параллельных классах ещё в ЮМШ, школе-интернат № 18 при МГУ в 1965–1967 годах, а потом в одной группе на механико-математическом факультете МГУ имени М. В. Ломоносова с 1969 по 1971 годы под руководством профессора Н. М. Коробова.
 В 1992 году В. С. Ванькова   успешно   защитила   кандидатскую   диссертацию   под   руководством профессора В. И. Нечаева в диссертационном совете МПГУ. Её диссертация была посвящена изучению квадратичного отклонения различных теоретико-числовых сеток.
  Следующей аспиранткой-заочницей В. И. Нечаева стала А. Л. Рощеня в 1994 г., которая защитила диссертацию в МПГУ в 1998 г. Тематика её исследований была связана с вопросами аналитического продолжения гиперболической дзета-функции решёток на всю комплексную плоскость.
  Исследования А. Л. Рощени были продолжены в работах И. Ю. Ребровой, которая была последней аспиранткой, выполнившей работу под руководством профессора В. И. Нечаева.
  В 2012 году вышла монография Г. Т. Вронской и Н. Н. Добровольского. В основу работы легли книга, которую Г. Т. Вронская написала вместе с О. В. Родионовой в 2005 г., статья, написанная Н. Н. Добровольским в 2007 г, и статья, написанная Н. Н. Добровольским, О. В. Киселевой и А. С. Симоновым в 2011 г.
 Учебу в аспирантуре О. В. Родионова начинала под руководством профессора В. И. Нечаева, а заканчивала и выходила на защиту под руководством профессора Д. А. Митькина и профессора Н. М. Добровольского.
 В 1998 г. под руководством профессора Н. М. Коробова И. Д. Кан защитил в МГУ им. М. В. Ломоносова кандидатскую диссертацию "Рекуррентные последовательности и их приложения" . Эта диссертация была посвящена в основном алгоритмическому решению проблемы Фробениуса о наибольшем натуральном числе, непредставимом в виде целочисленной неотрицательной комбинации заданных натуральных чисел. По предложению Н. М. Добровольского в этой диссертации И. Д. Кан рассмотрел вопрос о существовании алгоритма вычисления количественной характеристики качества плоских параллелепипедальных сеток за O(lnN) арифметических операций. Он показал, что такой алгоритм существует, но его явный вид не был найден.
 Одним из основных результатов диссертации О. В. Родионовой была явная формула для количественной характеристики качества плоских параллелепипедальных сеток, выражающая значение этой количественной характеристики через числители и знаменатели подходящих дробей к разложению в цепную дробь отношения коэффициента параллелепипедальной сетки к её модулю. Эта формула, реализующая требуемый алгоритм, была получена на основе теории вычисления полных степенных сумм дробных долей малого порядка. Именно указанная часть диссертации и включена в монографию.
  В диссертации Г. Т. Вронской дано решение задачи Коробова — Нечаева для:
  — количественной характеристики качества и квадратичного отклонения полных плоских сеток Хэммерсли;
  — среднего квадратичых отклонений полных модифицированных сеток Хэммерсли — Рота;
  — количественной характеристики качества плоских сеток Воронина;
  — среднего квадратичых отклонений модифицированных параллелепипедальных сеток.
  В работе Н. Н. Добровольским получены точные формулы для отклонения двумерных сеток Смоляка, изучены соответствующие квадратурные и интерполяционные формулы с весами, вычислены тригонометрические суммы с весами для этих сеток и найдены явные формулы для тригонометрических полиномов сеток.
 Продолжение этих исследований содержится в работе, где был найден явный вид граничной функции класса E22(1,π26) для сеток Смоляка. На важность граничных функций, выраженных через элементарные, указывал профессор Н. М. Коробов в своей монографии.
 Надо   отметить,   что   за   последние   тридцать   лет,   благодаря профессорам В. И. Нечаеву, Д. А. Митькину и В. Г. Чирскому, между факультетом математики, физики и информатики ТГПУ им. Л. Н. Толстого и кафедрой теории чисел МПГУ сложились прочные научные связи, которые способствовали проведению в Туле ряда научных конференций по теории чисел и подготовке аспирантов для ТГПУ. За этот период было подготовлено семь кандидатов наук по теории чисел из числа преподавтелей ТГПУ (В. С. Ванькова — 1992 г., А. Л. Рощеня — 1998 г., И. Ю. Реброва — 2000 г., О. В. Родионова — 2000 г., Г. Т. Вронская — 2005 г., А. С. Герцог — 2012 г., Е. Д. Ребров — 2013 г.), в настоящее время продолжают работу над диссертациями ещё четыре человека, прошедших обучение в аспирантуре кафедры теории чисел МПГУ.
  Важную роль в становлении современной тульской школы теории чисел сыграло сотрудничество с профессорами В. Н. Чубариковым и В. И. Ивановым. Под руководством профессора В. Н. Чубарикова в 2009 году были защищены сразу две кандидатские диссертации: М. Н. Добровольским (младшим) и Л. П. Добровольской. Под руководством профессора В. И. Иванова в 2014 году защитил кандидатскую диссертацию Н. Н. Добровольский .
  Начиная с конца семидесятых годов, в Туле традиционно все исследования по теории чисел сконцентрированы в направлении развития основанного в 1957 году профессором Н. М. Коробовым теоретико-числового метода приближенного анализа. В последнее время эти исследования стали всё больше примыкать к тематике, разрабатываемой В. Д. Подсыпаниным и М. Н. Добровольским (старшим) в 50–60 годах XX столетия.
 Дело в том, что сама логика исследований диктует для дальнейшего развития теоретико-числового метода в приближенном анализе рассматривать вопросы диофантовых приближений алгебраических чисел, то есть те вопросы, которыми в 50–60-ые годы занимались В. Д. Подсыпанин и М. Н. Добровольский (старший).