Тематика фундаментальных исследований в тульской школе теории чисел

 Исследования в современной тульской школе теории чисел направлены на решение следующих фундаментальных проблем:
 — в теории равномерного распределения, связанных с получением оценок отклонений сверху для различных классов сеток;
 — в теоретико-числовом методе приближенного анализа, связанных с изучением свойств нормированного пространства сеток с весами,
 — в геометрии чисел, связанных с метрическим пространством сдвинутых решеток и аналитическими свойствами гиперболической дзета функции сдвинутых решеток и дзета функции сеток с весами;
 — в теории решеток и сеток с весами, связанных с исследованием гиперболической дзета-функции решеток и гиперболической дзета-функции сеток с весами, имеющих важное значение для построения эффективных теоретико-числовых многомерных квадратурных и интерполяционных формул, а также решения линейных интегральных уравнений и уравнений с частными производными.
 Задача оценки среднего арифметического q-го отклонения по орбитам многомерной регулярной p-ичной сетки, порожденным группами арифметических сдвигов и поразрядных сдвигов единичного s-мерного куба составляет важное направление исследований в рамках первой указанной проблемы.
 Изучение аналитических свойств гиперболической дзета функции сдвинутых решеток на метрическом пространстве сдвинутых решеток относительно различных метрик и дзета функции сеток с весами на нормированном пространстве сеток с весами относительно различных норм составляет основное направление исследований в рамках второй указанной проблемы..
 Задача получения функционального уравнения гиперболической дзета-функции для новых классов решеток составляет важное направление исследований в рамках третьей указанной проблемы.
 Кроме того, оценки гиперболической дзета-функции сеток с весами для классических теоретико-числовых сеток — четвертая задача решаемая в данных исследованиях.
 Другой фундаментальной проблемой, на решение которой направлены усилия коллектива, это исследования, связанные с приближениями алгебраических чисел чисто вещественных алгебраических полей рациональными числами.
 Пятой задачей данной тематики является исследование матричных разложений М. Н. Добровольского и В. Д. Подсыпанина для различных классов алгебраических иррациональностей на основе полиномов Туэ. Для этого необходимо исследовать модуль Туэ и алгоритмические проблемы вычисления основных многочленов Туэ. В частности, построить алгоритмы символьных вычислений основных многочленов Туэ.
 Применение полученных результатов к теории многомерных квадратурных и интерполяционных формул с обобщенными параллелепипедальными сетками составляет шестую задачу исследований, проводимых в настоящее время в тульской школе теории чисел.
  Для решения указанных проблем используются:
 — для оценки отклонений p-ичных регулярных сеток метод аддитивных функций промежутков и их преобразований с помощью групп арифметических и поразрядных сдвигов;
 — для оценки отклонений обобщенных параллелепипедальных сеток метод тригонометрических сумм;
 Кроме того используются методы геометрии чисел, аналитической теории чисел, теории рядов Дирихле. методы алгебраической теории чисел и диофантова анализа, геометрии чисел, аналитической теории чисел, теории рядов Дирихле.
 Оригинальным является подход о приближении произвольной решетки последовательностью декартовых решеток и переход к пределу соответствующих гиперболических дзета-функций решеток.
 Другой подход, который сформировался в последнее время — это изучение минимальных многочленов остаточных дробей алгебраических иррациональностей с помощью дробно-линейных преобразований.