Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

Алгебраическая теория чисел

Алгебраическая теория чисел — раздел теории чисел, основнаязадача которого — изучение свойств целых элементов числовых полей.
 В алгебраической теории чисел понятие числа расширяется, в качествеалгебраических чисел рассматривают корни многочленов с рациональнымикоэффициентами. При этом аналогом целых чисел выступают целыеалгебраические числа, то есть корни унитарных многочленов с целымикоэффициентами. В отличие от целых чисел в кольце целых алгебраическихчисел не обязательно выполняется свойство факториальности, то естьединственности разложения на простые множители.
 Теория алгебраических чисел обязана своим появлением изучениюдиофантовых уравнений и в том числе попыткам доказать теорему Ферма.Куммеру принадлежит равенство

xn=znyn=ni=1(zaiy), где ai — корни степени nиз единицы.
 Таким образом Куммер определил новые целые числа вида z+aiy. ПозднееЛиувилль показал, что если алгебраическое число является корнемуравнения степени n, то к нему нельзя подойти ближе чем на Qn,приближаясь дробями вида P/Q, где P и Q — целые взаимно простыечисла.
 После определения алгебраических и трансцендентных чисел валгебраической теории чисел выделилось направление, которое занимаетсядоказательством трансцендентности конкретных чисел, и направление,которое занимается алгебраическими числами и изучает степень ихприближения рациональными и алгебраическими.
 Алгебраическая теория чисел включает в себя такие разделы, как теориюдивизоров, теорию Галуа, теорию полей классов, дзета- и L-функцииДирихле, и многое другое.
 Одним из основных приёмов является вложение поля алгебраических чисел всвоё пополнение по какой-то из метрик — архимедовой (например, в полевещественных или комплексных чисел) или неархимедовой (например, в полеp-адических чисел).