Абелево расширение

Абелево расширение поля — расширение Галуа, для которогогруппа Галуа является абелевой.
 Например, расширение \Q[2] является абелевым: его группа Галуасостоит из двух элементов и является абелевой, нетривиальный автоморфизмпереставляет местами числа 2 и 2. Расширение\Q[23,3i] не является абелевым: данное поле являетсяполем разложения многочлена x32 и его автоморфизмы, фиксирующие\Q, переставляют разные корни этого многочлена, то есть группа Галуаэтого расширения является симметрической группой порядка 3 и,соответственно, некоммутативна. Важным примером абелевого расширенияявлюется циклотомические (круговые расширения), получающиесяприсоединением к полю корней из единицы, в случае поля рациональныхчисел, вследствие такого расширения получаются круговые поля. Согласнотеореме Кронекера — Вебера произвольное абелево расширениерациональных чисел является подполем некоторого кругового поля.
 Если поле содержит первообразный корень из единицы степени n, торасширение, полученное присоединением к нему корня степени n изнекоторого элемента (расширение Куммера), является абелевым. Для общегослучая это утверждение не является верным.
Циклическое расширение — важный частный случай абелеварасширения, — расширение, для которого группа Галуа являетсяциклической. Произвольное конечное расширение конечного поля являетсяциклическим.