Алгебраические числа

Алгебраическое число над полем k — элемент алгебраическогозамыкания поля k, то есть корень многочлена (не равного тождественнонулю) с коэффициентами из k.
 Если поле не указывается, то предполагается поле рациональных чисел, тоесть k=Q, в этом случае поле алгебраических чисел обычнообозначается A. Данная статья посвящена именно этим«рациональным алгебраическим числам». Поле A являетсяподполем поля комплексных чисел.

Связанныеопределения



  • Комплексное число, не являющееся алгебраическим, называется трансцендентным.
  • Целыми алгебраическими числами называются корни многочленов с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом, равным единице.
  • Если α — алгебраическое число, то среди всех многочленов с рациональными коэффициентами, имеющих α своим корнем, существует единственный многочлен наименьшей степени со старшим коэффициентом, равным единице. Такой многочлен называется минимальным, или каноническим многочленом алгебраического числа α (иногда каноническим называют многочлен, получающийся из минимального домножением на наименьшее общее кратное знаменателей его коэффициентов, то есть многочлен с целыми коэффициентами).
    • Минимальный многочлен всегда является неприводимым.
    • Степень канонического многочлена α называется степенью алгебраического числа α.
    • Другие корни канонического многочлена α называются сопряжёнными к α.
    • Высотой алгебраического числа α называется наибольшая из абсолютных величин коэффициентов в неприводимом и примитивном многочлене с целыми коэффициентами, имеющем α своим корнем.

Примеры



  • Рациональные числа, и только они, являются алгебраическими числами первой степени.
  • Мнимая единица i и 2 являются алгебраическими числами второй степени. Сопряжёнными к ним являются соответственно i и 2.
  • Для любых натуральных чисел m и n число mn является алгебраическим числом степени n.

Свойства



  • Множество алгебраических чисел счётно, а следовательно, его мера равна нулю.
  • Множество алгебраических чисел плотно на комплексной плоскости.
  • Сумма, разность, произведение и частное двух алгебраических чисел — алгебраические числа, то есть множество всех алгебраических чисел образует поле.
  • Корень многочлена с алгебраическими коэффициентами есть алгебраическое число, то есть поле алгебраических чисел алгебраически замкнуто.
  • Для всякого алгебраического числа α существует такое натуральное N, что Nα — целое алгебраическое число.
  • Алгебраическое число α степени n имеет n различных сопряжённых чисел (включая себя).
  • α и β сопряжены тогда и только тогда, когда существует автоморфизм поля A, переводящий α в β.
  • Любое алгебраическое число вычислимо, а следовательно, арифметично.
  • Порядок на множестве действительных алгебраических чисел изоморфен порядку на множестве рациональных чисел.

История


 Впервые алгебраические поля стал рассматривать Гаусс. При обоснованиитеории биквадратичных вычетов он развил арифметику целых гауссовыхчисел, то есть чисел вида a+bi, где a и b — целые числа.Далее, изучая теорию кубических вычетов, Якоби и Эйзенштейн создалиарифметику чисел вида a+bho, где ρ=(1+i3)/2 —кубический корень из единицы, а a и b — целые числа. В 1844 годуЛиувилль доказал теорему о невозможности слишком хорошего приближениякорней многочленов с рациональными коэффициентами рациональными дробями,и, как следствие, ввёл формальные понятия алгебраических итрансцендентных (то есть всех прочих вещественных) чисел. Попыткидоказать великую теорему Ферма привели Куммера к изучению полей делениякруга, введению понятия идеала и созданию элементов теорииалгебраических чисел. В работах Дирихле, Кронекера, Гильберта и другихтеория алгебраических чисел получила своё дальнейшее развитие. Большойвклад в неё внесли русские математики Золотарев (теория идеалов),Вороной (кубические иррациональности, единицы кубических полей), Марков(кубическое поле), Сохоцкий (теория идеалов) и другие.