Алгебраическое числовое поле

Алгебраическое числовое поле, поле алгебраическихчисел (или просто числовое поле) — это конечное (аследовательно — алгебраическое) расширение поля рациональных чиселQ. Таким образом, числовое поле — это поле, содержащееQ и являющееся конечномерным векторным пространством над ним.
 Числовые поля и, более общо, алгебраические расширения поля рациональныхчисел являются основным объектом изучения алгебраической теории чисел.

Примеры



  • Наименьшее и базовое числовое поле — поле рациональных чисел Q.
  • Гауссовы рациональные числа, обозначаемые Q(i) — первый нетривиальный пример числового поля. Его элементы — выражения вида a+bi,где a и b рациональные числа, i — мнимая единица. Такиевыражения можно складывать и перемножать по обычным правилам действий скомплексными числами, и у каждого ненулевого элемента существуетобратный, как это видно из равенства
    (a+bi)(aa2+b2ba2+b2i)=(a+bi)(abi)a2+b2=1.
     Из этого следует, что рациональные гауссовы числа образуют поле,являющееся двумерным пространством над Q (то есть квадратичнымполем).
  • Более общо, для любого свободного от квадратов целого числа d Q(d) будет квадратичным расширением поля Q.
  • Круговое поле Q(ζn) получается добавлением в Q примитивного корня n-й степени из единицы. Поле должно содержать и все его степени (то есть все корни n-й степени из единицы), его размерность над Q равняется функции Эйлера φ(n).
  • Действительные и комплексные числа имеют бесконечную степень над рациональными, поэтому они не являются числовыми полями. Это следует из из несчетности: любое числовое поле является счётным.

Кольцо целых числовогополя


 Поскольку числовое поле является алгебраическим расширением поляQ, любой его элемент является корнем некоторого многочлена срациональными коэффициентами (то есть является алгебраическим). Болеетого, каждый элемент является корнем многочлена с целыми коэффициентами,так как можно домножить все рациональные коэффициенты на произведениезнаменателей. Если же данный элемент является корнем некоторогоприведенного многочлена с целыми коэффициентами, он называется целымэлементом (или алгебраическим целым числом). Не все элементы числовогополя целые: например, легко показать что единственные целые элементыQ — это обычные целые числа.
 Можно доказать, что сумма и произведение двух алгебраических целыхчисел — снова алгебраическое целое число, поэтому целые элементыобразуют подкольцо числового поля K, называемое кольцом целыхполя K и обозначаемое OK. Поле не содержит делителей нуляи это свойство наследуется при переходе к подкольцу, поэтому кольцоцелых целостно; поле частных кольца OK — это само полеK. Кольцо целых любого числового поля оладает следующими тремясвойствами: оно целозамкнуто, нётерово и одномерно. Коммутативное кольцос такими свойствами называется дедекиндовым в честь Рихарда Дедекинда.

Разложение на простые и группаклассов


 В произвольном дедекиндовом кольце существует и единственно разложениененулевых идеалов в произведение простых. Однако не любое кольцо целыхудовлетворяет свойству факториальности: уже для кольца целыхквадратичного поляOQ(5)=Z[5] разложениене единственно:
6=23=(1+5)(15)
 Введя на этом кольце норму, можно показать, что эти разложениядействительно различны, то есть одно нельзя получить из другогоумножением на обратимый элемент.
 Степень нарушения свойства факториальности измеряют при помощи группыклассов идеалов, эта группа для кольца целых всегда конечна и её порядокназывают числом классов.

Базисы числовогополя


Целыйбазис


Целый базис числового поля F степени n — этомножество
B={b1,,bn},

 из n элементов кольца целых поля F, такое что любойэлемент кольца целых ''OF'' поля F можноединственным способом записать как Z-линейную комбинациюэлементов B; то есть для любого x изOF существует и единственно разложение
x=m1b1++mnbn,

 где mi — обычные целые числа. В этом случаелюбой элемент F можно записать как
m1b1++mnbn,

 где mi — рациональные числа. После это целыеэлементы F выделяются тем свойством, что это в точности теэлементы, для которых все mi целые.
 Используя такие иструменты как локализация и эндоморфизм Фробениуса,можно построить такой базис для любого числового поля. Его построениеявляется встроенной функцией во многих системах компьютерной алгебры.

Степеннойбазис


 Пусть F — числовое поле степени n. Среди всех возможныхбазисов F (как Q-векторного пространства), существуютстепенные базисы, то есть базисы вида
Bx={1,x,x2,,xn1},

 для некоторого xF. Согласно теореме о примитивномэлементе, такой x всегда существует, его называютпримитивным элементом данного расширения.

Норма ислед


 Алгебраическое числовое поле является конечномерным векторнымпространством над Q (обозначим его размерность за n), иумножение на произвольный элемент поля является линейным преобразованиемэтого пространства. Пусть e1,e2,en — какой-нибудь базисF, тогда преобразованию xαx соответствует матрицаA=(aij), определяемая условием
αei=j=1naijej,aijQ.
 Элементы этой матрицы зависят от выбора базиса, однако от него независят все инварианты матрицы, такие как определитель и след. Вконтексте алгебраических расширений, определитель матрицы умножения наэлемент называется нормой этого элемента (обозначается N(x));след матрицы — следом элемента (обозначается Tr(x)).
 След элемента является линейным функционалом на F:
Tr(x+y)=Tr(x)+Tr(y)
иTr(λx)=λTr(x),λQ.
 Норма является мультипликативной и однородной функцией:
N(xy)=N(x)N(y)
иN(λx)=λnN(x),λQ.
 В качестве исходного базиса можно выбрать целый базис, умножению нацелое алгебраическое число (то есть на элемент кольца целых) в этомбазисе будет соответствовать матрица с целыми элементами. Следовательно,след и норма любого элемента кольца целых являются целыми числами.

Пример использованиянормы


 Пусть d — натуральное число, свободное от квадратов, тогдаQ(d) — квадратичное поле (в частности, являющеесячисловым полем). Выберем в этом поле целый базис (1,d)(d — целый элемент, так как он является корнем приведенногомногочлена x2d). В этом базисе умножению на a+bdсоответствует матрица

(adbba)
 Следовательно, N(a+bd)=a2db2. На элементах кольцаZ[d] эта норма принимает целые значения. Норма являетсягомоморфизмом мультипликативной группы Z[d] намультипликативную группу Z, поэтому норма обратимых элементовкольца может быть равна только 1 или 1. Для того, чтобы решитьуравнение Пелля a2db2=1, достаточно найти все обратимые элементыкольца целых (также называемые единицами кольца) и выделить срединих имеющие норму 1. Согласно теореме Дирихле о единицах, всеобратимые элементы данного кольца являются степенями одного элемента (сточностью до умножения на 1), поэтому для нахождения всех решенийуравнения Пелля достаточно найти одно фундаментальное решение.