Теория полей классов

Теория полей классов — теория, дающая описание всех абелевыхрасширений (конечных расширений Галуа с абелевой группой Галуа) поляk, принадлежащего к одному из следующих типов:

  1. k — поле алгебраических чисел, то есть конечное расширение поля Q;
  2. k — конечное расширение поля p-адических чисел
  3. k — поле алгебраических функций одной переменной над конечным полем;
  4. k — поле формальных степенных рядов над конечным полем.

 Основные теоремы теории полей классов были сформулированы и доказаны вчастных случаях Кронекером, Вебером (Weber), Гильбертом и другими.

Основы теории полейклассов


 Для поля k существует максимальное абелево расширение A. Это расширениебесконечной степени. (Например, для поля рациональных чисел Qмаксимальное абелево расширение содержит все комплексные корни изединицы.) Группа Галуа G расширения A поля k является про-конечнойгруппой, также абелевой. Основная цель теории — описать группу G втерминах поля k.
 Важный результат теории полей классов. Группа G канонически изоморфнагруппе C\textsubscriptK классов иделей поля K.(см. статью «Adelic algebraic group» в английской Wiki).