Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/fonts/TeX/fontdata.js

Дедекиндово кольцо

 В общей алгебре, дедекиндово кольцо — это целостное кольцо, вкотором каждый ненулевой собственный идеал раскладывается в произведениепростых идеалов. Можно показать, что в этом случае разложениеединственно с точностью до порядка сомножителей. Ниже приведенонесколько других описаний дедекиндовых колец, которые можно принять заопределение.
 Поле — это целостное кольцо, в котором нет ненулевых собственныхидеалов, поэтому предыдущее свойство, строго говоря, выполняется.Некоторые авторы добавляют в определение дедекиндова кольца условие «неявляющееся полем»; многие другие авторы следуют неявному соглашению, чтоформулировки всех теорем для дедекиндовых колец можно тривиальнымобразом подправить, так, чтобы они выполнялись и для полей.
 Из определения немедленно следует, что всякая область главныхидеалов — дедекиндово кольцо. Дедекиндово кольцо являетсяфакториальным тогда и только тогда, когда оно является областью главныхидеалов.

Предыстория появленияпонятия


 В XIX веке стало распространённой техникой использование колецалгебраических чисел для решения диофантовых уравнений. Например, впопытке определить, какие целые числа представимы в виде x2+my2,довольно естественно разложить квадратичную форму на множители(x+my)(xmy), разложение происходит в кольце целыхквадратичного поля Q(m). Сходным образом, длянатурального n многочлен znyn (который возникает при решенииуравнения Ферма xn+yn=zn) можно разложить в кольцеZ[ζn], где ζn — примитивный n-й корень изединицы.
 При малых значениях m и n эти кольца целых являются областямиглавных идеалов; в некотором смысле это является объяснением частичногоуспеха Ферма (m=1,n=4) и Эйлера (m=2,3,n=3) в решении этихдвух задач. К этому времени специалистам по изучению квадратичных формбыла известна процедура проверки кольца целых квадратичного поляQ(D) на свойство «быть областью главных идеалов».Гаусс изучал случай D<0: он нашел девять значений D,удовлетворяющих свойству, и предположил, что других значений нет(Гипотеза Гаусса была доказана более чем через сто лет после этого).
 К XX веку математики начали понимать, что условие главных идеаловслишком тонкое, а условие дедекиндовости более крепкое и устойчивое.Например, Гаусс предположил, что существует бесконечно многоположительных простых p, таких что кольцо целых поляQ(p) — область главных идеалов; однако ксегодняшнему дню неизвестно даже, существует ли бесконечно многочисловых полей, кольца целых которых удовлетворяют этому условию! Сдругой стороны, кольцо целых числового поля всегда являетсядедекиндовым.
 Другое доказательство этой «устойчивости» — то, что дедекиндовостьявляется локальным свойством: нётерово кольцо R является дедекиндовымтогда и только тогда, когда его локализация по любому максимальномуидеалу дедекиндова. Но локальное кольцо дедекиндово тогда и толькотогда, когда оно является областью главных идеалов и кольцом дискретногонормирования, так что для областей главных идеалов дедекиндовость —это глобализация свойства дискретного нормирования.

Эквивалентныеопределения


 Для целостного кольца R, не являющегося полем, следующие утвержденияэквивалентны:

  • Каждый ненулевой собственный идеал раскладывается в произведение простых;
  • R нётерово и его локализация по любому максимальному идеалу — кольцо дискретного нормирования;
  • Любой дробный идеал кольца R обратим;
  • R целозамкнуто, нётерово, и его размерность Крулля равна единице.

 Кольцо Крулля — это «многомерный» аналог дедекиндова кольца:дедекиндовы кольца (не являющиеся полями) — это в точности кольцаКрулля размерности 1. Такое определение дедекиндова кольца использовалиБурбаки в «Коммутативной алгебре».

Примеры


 Все области главных идеалов и, следовательно, все кольца дискретногонормирования дедекиндовы.
 Кольцо R=OK алгебраических целых чисел числового поляK нётерово, целозамкнуто и имеет размерность 1 (чтобы доказатьпоследнее, достаточно заметить, что для любого ненулевого идеалаI кольца R, R/I конечно, а конечныецелостные кольца являются полями), поэтому R дедекиндово. Этоосновной, мотивирующий пример для теории дедекиндовых колец.
 Другой пример, важность которого не меньше чем у первого, предоставляеталгебраическая геометрия. Пусть C — аффинная алгебраическаякривая над полем k. Тогда координатное кольцоk[C] регулярных функций на C дедекиндово.Действительно, это просто перевод геометрических терминов наалгебраический язык: координатное кольцо аффинного многообразия, поопределению, конечнопорожденная k-алгебра (следовательно,нётерово); кривая подразумевает размерность 1, а из отсутствияособенностей следует нормальность, то есть целозамкнутость.
 Оба примера являются частными случаями следующей базовой теоремы:

Теорема: пусть R — дедекиндово кольцо с полем частныхK, L — конечное расширение K, а S —целое замыкание R в L. Тогда S — дедекиндовокольцо.
 Применив эту конструкцию к R = Z, получаем кольцо целыхчислового поля. R = k[x] соответствует случаюалгебраических кривых без особенностей.

Дробные идеалы и группа классовидеалов


 Пусть R — целостное кольцо с полем частных K. Дробныйидеал кольца R — это ненулевой R-подмодуль K, длякоторого существует ненулевой x из K, такой чтоxIR.
 Для двух дробных идеалов I, J можно определить ихпроизведение IJ как множество всех конечных суммninjn, inI, jnJ: произведение IJ такжеявляется дробным идеалом. Множество Frac(R) всех дробных идеалов, такимобразом, является коммутативной полугруппой, и даже моноидом:тождественный элемент — дробный идеал R.
 Для любого дробного идеала I можно определить дробный идеал

I=(R:I)={xK | xIR}.
 Очевидно, IIR. Равенство достигается, когда Iобратим (как элемент моноида Frac(R)). Другимми словами, если Iимеет обратный элемент, то этот обратный — I.
Главный дробный идеал — это дробный идеал вида xR дляненулевого x из K. Все дробные идеалы обратимы: обратныйдля xR — это просто 1xR. Обозначим подгруппу главныхдробных идеалов Prin(R).
 Целостное кольцо R — кольцо главных идеалов тогда и толькотогда, когда каждый дробный идеал главный. В этом случае Frac(R) =Prin(R) = K/R, поскольку xR и yR совпадают тогда и толькотогда, когда xy1 — обратимый элемент R.
 Для произвольного целостного кольца R имеет смысл фактормоноидFrac(R) по подмоноиду Prin(R). В общем случае этот фактор является всеголишь моноидом. Легко видеть, что класс дробного идеала I вFrac(R)/Prin(R) обратим тогда и только тогда, когда I сам по себеобратим.
 Теперь становится понятен смысл третьего определения дедекиндова кольца:в дедекиндовом кольце — и только в дедекиндовом кольце — каждыйдробный идеал обратим. Таким образом, дедекиндовы кольца — это классколец, для которых Frac(R)/Prin(R) является группой, называемой группойклассов идеалов Cl(R) кольца R. Cl(R) тривиальна тогда и толькотогда, когда R — область главных идеалов.
 Одна из базовых теорем алгебраической теории чисел утверждает, чтогруппа классов идеалов кольца целых числового поля конечна.

Конечнопорожденные модули над дедекиндовымикольцами


 Помня о существовании чрезвычайно полезной структурной теоремы дляконечнопорожденных модулей над областями главных идеалов, естественновыяснить, можно ли распространить её на случай дедекиндовых колец.
 Напомним формулировку структурной теоремы для модуля M над областьюглавных идеалов. Мы определяем подмодуль кручения T как множествотаких элементов m кольца M, что rm=0 для некоторого ненулевогоr из R. Тогда:
 (1) T можно разложить в прямую сумму циклических модулей кручения,каждый из которых имеет вид R/I для некоторого ненулевого идеала Iкольца R. По китайской теореме об остатках, каждый R/I можноразложить в прямую сумму модулей вида R/Pi, где Pi — степеньпростого идеала. Получившееся разложение модуля T единственно сточностью до порядка сомножителей.
 (2) Существует дополняющий подмодуль P модуля M, такой чтоM=TP.
 (3) P изоморфен Rn для однозначно определённого неотрицательногоцелого n. В частности, P — конечнопорождённый свободный модуль.
 Теперь пусть M — конечнопорождённый модуль над дедекиндовым кольцом.Утверждения (1) и (2) остаются верными и для него. Однако из (3)следует, что любой конечнопорождённый модуль без кручения свободен. Вчастности, из этого следует, что все дробные идеалы являются главными.Иными словами, нетривиальность группы классов идеаловCl[R] противоречит (3). Оказывается, что число«дополнительных» конечнопорождённых модулей без кручения можнопроконтролировать, зная группу классов идеалов. Для произвольногоконечнопорождённого модуля над дедекиндовым кольцом верно утверждение
 (3') P изоморфно прямой сумме проективных модулей ранга 1:PI1Ir. Более того, для любыхпроективных модулей ранга 1 I1,,Ir,J1,,Js

I1IrJ1Js
 выполняется тогда и только тогда, когда

r=s
 и

I1IrJ1Js.
 Проективные модули ранга 1 отождествляются с дробными идеалами, поэтомупоследнее условие можно переформулировать как

[I1Ir]=[J1Js]Cl(R).
 Следовательно, конечнопорождённый модуль ранга n>0 без крученияможно записать в виде Rn1I, где I — проективный модульранга 1. Класс Стейница модуля P над R — этокласс [I] идеала I в группе Cl(R), он однозначно определён. Из этогоследует
Теорема. Пусть R — дедекиндово кольцо. ТогдаK0(R)ZCl(R), гдеK\textsubscript0(R) — группа Гротендика коммутативногомоноида конечнопорождённых проективных R-модулей.
 Эти результаты были установлены Стейницем в 1912 году.