Дробный идеал

 В коммутативной алгебре, дробный идеал — это обобщениепонятия идеала целостного кольца, особенно полезное при изучениидедекиндовых колец. Условно говоря, дробные идеалы — это идеалы сознаменателями. В случаях, когда одновременно обсуждаются дробные иобычные идеалы, последние называют целыми идеалами.

Основныеопределения


 Пусть R — целостное кольцо, K — его поле частных.Дробный идеал кольца R — это R-подмодульI поля K, такой что rIR для некоторогоrR. Интуитивно, r сокращается со знаменателями всех элементовI. Главные дробные идеалы — это дробные идеалы, порождённые(как R-модули) единственным элементом поля K. Дробныйидеал содержится в R тогда и только тогда, когда он являетсяцелым идеалом R.
 Для двух дробных идеалов I, J можно определить изпроизведение IJ как множество всех конечных суммninjn, inI, jnJ: произведение IJ такжеявляется дробным идеалом. Дробный идеал I называетсяобратимым, если существует дробный идеал J, такой, чтоIJ = R. Множество обратимых идеалов образует абелевугруппу по произведению, тождественный элемент которой — само кольцоR. Эта группа называется группой дробных идеалов кольцаR, главные дробные идеалы образуют в ней подгруппу. Ненулевойдробный идеал обратим тогда и только тогда, когда он являетсяпроективным R-модулем.

Случай дедекиндовыхколец


 Дедекиндовы кольца выделяются среди целостных колец тем свойством, чтокаждый ненулевой дробный идеал обратим. В этом случае факторгруппагруппы дробных идеалов по подгруппе главных дробных идеалов называетсягруппой классов идеалов и является важным инвариантом дедекиндовакольца. Обобщение понятия группы классов идеалов на случайнедедекиндовых колец (и даже общих окольцованных пространств) называется.

Дивизорныеидеалы


 Обозначим через I~ пересечение всех главных дробных идеалов,содержащих ненулевой дробный идеал I. Эквивалентно,

I~=(R:(R:I)),
 где

(R:I)={xK:xIR}
 Дробный идеал, получающийся в результате применения такой операции,называется дивизорным идеалом. Или, эквивалентно, дивизорныеидеалы — это все дробные идеалы I, такие что I~=I.Произведение дивизорных идеалов является дивизорным идеалом, поэтомудивизорные идеалы образуют коммутативный моноид D(R). Этот моноидявляется группой тогда и только тогда, когда кольцо R вполнецелозамкнуто.
 Дивизорные идеалы обычно рассматривают для колец Крулля, в этом случаепростые идеалы высоты 1 являются дивизорными и образуют базис абелевойгруппы D(R). Главные дробные идеалы являются дивизорными, факторгруппаD(R) по подгруппе главных дробных идеалов называется группой классовдивизоров.