Группа классов идеалов

Группа классов идеалов дедекиндова кольца — это, грубоговоря, группа, позволяющая сказать, насколько сильно в данном кольценарушается свойство факториальности. Эта группа тривиальна тогда итолько тогда, когда дедекиндово кольцо является факториальным. Свойствадедекиндова кольца, касающиеся умножения его элементов, тесно связаны сустройством этой группы.

Определение


 Пусть R — целостное кольцо, определим отношение на егоненулевых дробных идеалах следующим образом: IJ тогда и толькотогда, когда существуют ненулевые элементы a и b кольцаR, такие что (a)I=(b)J, легко показать, что это задаётотношение эквивалентности. Классы эквивалентности по этому отношениюназываются классами идеалов. Умножение классов, определенное как[a]*[b] = [ab] корректно определено,ассоциативно и коммутативно; главные дробные идеалы образуют класс[R], являющийся единицей для этого умножения. Класс[I] имеет обратный к нему класс [J] тогда и толькотогда, когда идеал IJ главный. В общем случае такой Jможет не существовать и классы идеалов будут всего лишь коммутативныммоноидом.
 Если R к тому же является дедекиндовым кольцом (например, кольцомалгебраических чисел некоторого алгебраического числового поля), то укаждого дробного идеала I существует обратный J, такой чтоIJ = R = (1). Следовательно, классы дробных идеаловдедекиндова кольца с определенным выше умножением образуют абелевугруппу, группу классов идеалов кольца R.

Свойства



  • Группа классов идеалов тривиальна тогда и только тогда, когда все идеалы кольца R главные, то есть когда R является областью главных идеалов. При этом дедекиндово кольцо факториально тогда и только тогда, когда оно является областью главных идеалов.
  • Число классов идеалов кольцо R в общем случае может быть бесконечным; более того, люба абелева группа изоморфна группе классов некоторого дедекиндова кольца. Однако если R — кольцо целых числового поля, его число классов конечно.
  • Вычисление группы классов в общем случае является довольно трудным. Это можно сделать вручную для алгебраического числового поля с малым дискриминантом, используя . Для полей с большим дискриминантом вычисление вручную становится непрактичным, и его обычно проводят при помощи компьютера.

Примеры


Число классов квадратичногополя


 Если d — число, свободное от квадратов, то Q(d)является квадратичным полем. Если d \textless 0, группа классовтривиальна только для следующих значений:d=1,2,3,7,11,19,43,67,163. Что касается случая d\textgreater 0, до сегодняшнего дня остаётся открытой проблемой вопросо том, бесконечно ли число значений, которым соответствует тривиальнаягруппа классов.

Пример нетривиальной группыклассов


R=Z[5] — кольцо целых числового поляQ(5). Это кольцо не является факториальным;действительно, идеал

J=(2,1+5)
 не является главным. Это можно доказать от противного следующим образом.На R можно определить функцию нормы N(a+b5)=a2+5b2, причемN(ab)=N(a)N(b) и N(x)=1 тогда и только тогда, когда xобратим. Прежде всего, JR. Факторкольцо по идеалу(1+5) изоморфно Z/6Z, поэтомуR/JZ/2Z. Если J порожден элементомx, то x делит 2 и 1 + √−5. Следовательно, нормаx делит 4 и 6, то есть равна 1 или 2. Она не может быть равна 1,так как J не равен R, и не может быть равна 2, так какa2+5b2 не может иметь остаток 2 по модулю 5. Легко проверить чтоJ2=(2) — главный идеал, поэтому порядок J в группе классовравен 2. Однако проверка того, что все идеалы принадлежат одному из этихдвух классов, требует чуть больших усилий.