Теория Куммера

 В алгебраической теории чисел теория Куммера дает описаниенекоторых видов расширений поля, состоящих в добавлении к исходному полюкорня n-ой степени из его элемента. Теория была разработанаЭрнстом Эдуардом Куммером около 1840-го года в его работе, связанной стеоремой Ферма.
 При условии, что характеристика поля p взаимно проста с nпри p \textgreater 0, основное утверждение теории не зависит отприроды поля и потому относится к общей алгебре.
 Теория Куммера имеет аналог для случая n=р (теория Артина— Шрейера). Роль группы μn (см. ниже) в этом случае играетаддитивная группа простого подполя Fp исходного поля.
 Существует также принадлежащее Э. Витту обобщение этой теории для случаяn=ps, где s>1, использующее векторы Витта.
 Теория Куммера является базовой, например, в теории полей классов и впонимании абелевых расширений. Она утверждает, что при наличиидостаточного числа корней из единицы циклические расширения могут бытьпоняты в терминах выделения корней.

РасширенияКуммера


Расширение Куммера — это расширение поля L/K (то естьвложение поля K в поле L), такое что для некоторого целогоn \textgreater 1 выполняются следующие два условия:

  • K содержит n различных корней из единицы n-ой степени (то есть все корни уравнения x\textsuperscriptn−1)
  • L/K содержит абелеву группу Галуа степени n (то есть n — наименьшее общее кратное порядков элементов этой группы).

 Например, для n = 2 первое условие всегда верно, еслихарактеристика K ≠ 2. Расширения Куммера в этом случае включаютквадратичные расширения L = K(√a), гдеa в K не является квадратом. При решении квадратныхуравнений любое расширение K степени 2 имеет такой вид.Расширение Куммера включает в этом случае также биквадратныерасширения и, обобщенно, мультиквадратные расширения. Прихарактеристике K, равной 2, такие расширения Куммера отсутствуют.
 При n = 3 не существует расширений Куммера степени 3 в полерациональных чисел Q, поскольку нужны три кубических корня из1, так что нужны комплексные числа. Если L — поле разложенияX\textsuperscript3a над Q, гдеa не является кубом рационального числа, то L содержитподполе K с тремя кубическими корнями из 1. Последнее следует изфакта, что если α и β — корни кубического многочлена, мы должныполучить (α/β)\textsuperscript3 =1, что является сепарабельныммногочленом. Таким образом, L/K — расширение Куммера.
 Обобщая, если K содержит n различных корней из единицыn-ой степени и характеристика K не делит n,добавление к K корня n-ой степени из какого-либо элементаa из K образует расширение Куммера (степени m,которое делит n).
 В качестве поля разложения полинома X\textsuperscriptna расширение Куммера необходимо в расширении Галуа циклическойгруппы Галуа порядка m.

ТеорияКуммера


 Теория Куммера утверждает, что при наличии в K первообразногокорня степени n, любое циклическое расширение K степениn образуется присоединением корня n-ой степени.
 Если K\textsuperscript× — мультипликативная группа ненулевыхэлементов K, циклические расширения K степени nсоответствуют однозначно циклическим подгруппам
K×/(K×)n,

 то есть элементы K\textsuperscript× по модулю n-хстепеней.
 Соответствие можно записать следующим образом: пусть задана циклическаяподгруппа
ΔK×/(K×)n,
соответствующеерасширение задается формулой
K(Δ1/n),
то есть присоединением n-х корней элементовΔ к K.
 И обратно, если L — расширение Куммера для K, то Δзадается формулой
Δ=K×(L×)n.

 В этом случае существует изоморфизм
ΔHom(Gal(L/K),μn),

 задаваемый формулой
a(σσ(α)α),

 где α — любой корень из a n-ой степени в L.

Обобщения


 Имеется небольшое обобщение теории Куммера на абелевы расширения группыГалуа степени n, и аналогичное утверждение верно в этомконтексте. А именно, можно доказать, что такие расширения являютсяоднозначным отображением в подгруппы
K×/(K×)n.

 Если основное поле K не содержит корней из единицы n-ойстепени, иногда используют изоморфизм
K×/(K×)nH1(GK,μn).