Квадратичное поле

Квадратичное поле — алгебраическое числовое поле степени 2над Q. Можно доказать, что отображениеdQ(d) задаёт биекцию между множеством свободныхот квадратов целых чисел и множеством всех попарно неизоморфныхквадратичных полей. Если d>0, квадратичное поле называетсядействительным, в противном случае — мнимым иликомплексным.

Кольцо целых квадратичногополя


 Для любого алгебраического числового поля можно рассмотреть его кольцоцелых, то есть множество элементов, являющихся корнями приведенныхмногочленов с целыми коэффициентами. В случае квадратичного поля этокорни приведенных квадратных уравнений с целыми коэффициентами, всечисла такого вида нетрудно описать.
 Пусть D — свободное от квадратов целое число, сравнимое с 2 или 3 помодулю 4. Тогда кольцо целых соответствующего квадратичного поля(обозначаемое OQ(D)) — это множестволинейных комбинаций вида a+bD, где a,bZ, собычными операциями сложения и умножения комплексных чисел.Соответственно, если D1mod4, кольцо целых состоитиз чисел вида a+b(1+D2),a,bZ.

Примеры колеццелых



  • Классический пример — кольцо гауссовых целых чисел, соответствующее случаю D=1. Это кольцо было впервые описано Гауссом около 1800 года, для того, чтобы сформулировать биквадратичный закон взаимности.
  • Случаю D=3 (так как −3 сравнимо с 1 по модулю 4) соответствуют целые числа Эйзенштейна.

Дискриминант


 Дискриминант квадратичного поля Q(d) равен d,когда d сравнимо с 1 по модулю 4, и 4d в противном случае.Например, дискриминант поля гауссовых рациональных чисел равен −4.

Разложение на простые в кольцецелых


 Любое кольцо целых является дедекиндовым, поэтому для любого его идеаласуществует и единственно разложение на простые идеалы. Пустьp — простое число, тогда для главного идеала, порожденногоp в OK (K — произвольное квадратичное поле)возможны следующие три случая:

  • (p) — простой идеал. Факторкольцо по нему — конечное поле из p\textsuperscript2 элементов:


OK/pOKFp2

  • (p) раскладывается в произведение двух различных простых идеалов.


OK/pOKFp×Fp

  • (p) — квадрат простого идеала. Тогда факторкольцо по нему содержит ненулевые нильпотенты.

 Третий случай происходит тогда и только тогда, когда p делитдискриминант поля D (например, идеал (2) является квадратомидеала (1+i) в кольце гауссовых целых чисел). Первый и второйслучаи происходят когда символ Кронекера (Dp)равен −1 и 1 соответственно.