Башня полей

Башня полей — последовательность из расширений для некоторогополя K: KK1Ki, можетбыть конечной или бесконечной. Часто записывается вертикально:

|Ki||K1|K
 Например, \Q\R\C — конечная башня расширений полярациональных чисел, последовательно включающая поля вещественных икомплексных чисел.
Нормальная башня полей — последовательность нормальныхрасширений, сепарабельная башня полей — последовательностьсепарабельных расширений, абелева башня полей —последовательность абелевых расширений.
 Классическая задача разрешимости в радикалах многочленов, решённаясредствами теории Галуа, может быть сформулирована в терминах башенполей: разрешимость эквивалентна погружаемости поля коэффициентовданного многочлена нормальную и абелеву башню полей.
Башня полей классов — башня полей, построенная над некоторымполем алгебраических чисел, каждый элемент которой является максимальнымабелевым неразветвлённым расширением предыдущего. Один из результатовтеории полей классов, влекущий важные следствия для алгебраическойтеории чисел — отрицательное решение неограниченной проблемы Бёрнсайда(теорема Голода — Шафаревича), на языке полей классов формулируетсяследующим образом: существуют бесконечные башни классов полей (вчастности, такова башня, построенная над расширением поля рациональныхчисел, полученного присоединением числа 30030).