Бета функция Дирихле

Бета-функция Дирихле (Dirichlet beta function) вматематике, иногда называемая бета-функцией Каталана(Catalan beta function) — специальная функция, тесно связаннаяс дзета-функцией Римана. Она является частным случаем L-функции Дирихле.Она названа в честь немецкого математика Петера Густава Лежён-Дирихле(Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet), а альтернативноеназвание — в честь бельгийского математика Эжена Шарля Каталана(Eugène Charles Catalan).
 Бета-функция Дирихле определяется как
β(s)=n=0(1)n(2n+1)s,

 или, эквивалентным образом, через интегральное представление
β(s)=1Γ(s)0xs1ex1+e2xdx,

 где Γ(s) — гамма-функция Эйлера. В обоих случаяхпредполагается, что Re(s) \textgreater 0.

Связь с другимифункциями


 Альтернативное определение через дзета-функцию Гурвица справедливо навсей комплексной плоскости переменной s:
β(s)=4s(ζ(s,14)ζ(s,34)).

 Бета-функция Дирихле также связана с функцией Лерха ,
β(s)=2sΦ(1,s,12).

 Это соотношение также верно на всей комплексной плоскости переменнойs.

Функциональноесоотношение


 Соотношение между β(s) и β(1-s) позволяет аналитическипродолжить бета-функцию Дирихле на левую часть комплексной плоскостипеременной s (то есть для Re(s)\textless0),
β(s)=(π2)s1Γ(1s)cos(12πs)β(1s),

 где Γ(s) — гамма-функция Эйлера.

Частныезначения


 Частные значения бета-функции Дирихле при целых значения аргументавключают в себя
β(0)=12,

β(1)=14π,

β(2)=G,

β(3)=132π3,

β(4)=1768(ψ3(14)8π4),

β(5)=51536π5,

β(7)=61184320π7,

β(9)=138541287680π9,

 где G — постоянная Каталана, аψ3(14) — частное значениепентагамма-функции (полигамма-функции третьего порядка).
 В общем случае, для любого положительного целого k,
β(2k+1)=(1)kE2kπ2k+14k+1(2k)!,

 где E2k — числа Эйлера . Дляотрицательных значений аргумента (для целых неотрицательных k) мыимеем
β(2k)=12E2k,

β(2k1)=0,

 то есть β(s) равна нулю для всех целых нечётных отрицательныхзначений аргумента (см. график функции).

Приблизительныезначения


sприблизительное значение β(s)OEIS
1\{\{\}\}0.7853981633974483096156608\{\{\}\}
2\{\{\}\}0.9159655941772190150546035\{\{\}\}
3\{\{\}\}0.9689461462593693804836348\{\{\}\}
4\{\{\}\}0.9889445517411053361084226\{\{\}\}
5\{\{\}\}0.9961578280770880640063194\{\{\}\}
6\{\{\}\}0.9986852222184381354416008\{\{\}\}
7\{\{\}\}0.9995545078905399094963465\{\{\}\}
8\{\{\}\}0.9998499902468296563380671\{\{\}\}
9\{\{\}\}0.9999496841872200898213589\{\{\}\}
10\{\{\}\}0.9999831640261968774055407\{\{\}\}

Производная бета-функцииДирихле


 Для некоторых целых значений аргумента s производная β'(s)может быть вычислена аналитически,
β(1)=2Gπ,

β(0)=ln(Γ2(14)2π2),

β(1)=π4(γ+2ln2+3lnπ4lnΓ(14)),

 (см. также OEIS и ).
 Кроме этого, для целых положительных n производную можнопредставить в виде бесконечной суммы
β(n)=k=1ln((4k+1)1/(4k+1)n(4k1)1/(4k1)n).