Обобщённые гипотезы Римана

 Гипотеза Римана является одной из наиболее важных гипотез в математике.Гипотеза является утверждением о нулях дзета-функции Римана. Различныегеометрические и арифметические объекты могут быть описаны такназываемыми глобальными L-функциями, которые формально похожина дзета-функцию Римана. Можно тогда задать тот же вопрос о корнях этихL-функций, что даёт различные обобщения гипотезы Римана. Многиематематики верят в верность этих обобщений гипотезы Римана.Единственный случай, когда такая гипотеза была доказана, произошёл в (нев случае поля чисел).
 Глобальные L-функции можно ассоциировать с эллиптическимикривыми, числовыми полями (в этом случае они называются ), ихарактерами Дирихле (в этом случае они называются L-функциями Дирихле).Когда гипотеза Римана формулируется для дзета-функций Дедекинда, онаназывается расширенной гипотезой Римана (РГР), а когда онаформулируется для L-функций Дирихле, она известна какобобщённая гипотеза Римана (ОГР). Эти два утверждения болеедетально обсуждаются ниже. (Многие математики используют названиеобобщённая гипотеза Римана для расширения гипотезы Римана на всеглобальные L-функции, не только специальный случайL-функций Дирихле.)

Обобщённая гипотеза Римана(ОГР)


 Обобщённую гипотезу Римана (для L-функций Дирихле), видимо,впервые сформулировал в 1884. Подобно исходной гипотезе Риманаобобщённая гипотеза имеет далеко идущие следствия о распределениипростых чисел.
Формальное утверждение гипотезы. Характер Дирихле — этополностью мультипликативная арифметическая функция χ, такая, чтосуществует положительное целое число k с χ(n + k) =χ(n) для всех n и χ(n) = 0 если gcd(n,k) \textgreater 1. Если задан такой характер, мы определяемсоответствующую L-функцию Дирихле
L(χ,s)=n=1χ(n)ns

 для любого комплексного числа s с вещественной частью\textgreater 1. С помощью аналитического продолжения эта функция можетбыть продолжена до мероморфной функции, определённой на всей комплекснойплоскости. Обобщённая гипотеза Римана утверждает, что для любогохарактера Дирихле χ и любого комплексного числа s с L(χ,s)= 0 выполняется: если вещественное число s находится между 0 и 1,то оно, на самом деле, равно 1/2.
 Случай χ(n) = 1 для всех n даёт обычную гипотезу Римана.

СледствияОГР


 Теорема Дирихле утверждает, что когда a и d взаимнопростые натуральные числа, то арифметическая прогрессия a,a+d, a+2d, a+3d, \ldotsсодержит бесконечно много простых чисел. Пустьπ(x,a,d) обозначает число простых чисел впрогрессии, которые меньше или равны x. Если обобщённая гипотезаРимана верна, то для любых взаимно простых a и d и любогоε \textgreater 0
π(x,a,d)=1φ(d)2x1lntdt+O(x1/2+ϵ)
при x, где φ(d) — функция Эйлера, а O — «O»большое. Это существенное усиление теоремы о распределении простыхчисел.
 Если ОГР верна, то любая собственная подгруппа мультипликативной группы(Z/nZ)× не содержит числа, меньшие 2(lnn)\textsuperscript2, как и числа, взаимно простые с n именьшие 3(ln n)\textsuperscript2. Другими словами,(Z/nZ)× генерируется набором чисел, меньших 2(lnn)\textsuperscript2. Этот факт часто используется вдоказательствах и из него вытекает много следствий, например (впредположении верности ОГР):

  • Тест Миллера — Рабина гарантированно работает за полиномиальное время. (Тест с полиномиальным временем работы, не требующий ОГР, тест Агравала — Каяла — Саксены, был опубликован в 2002.)
  • Алгоритм Гельфонда — Шенкса гарантированно работает за полиномиальное время.
  • Детерминированный алгоритм Ивануос — Карпински — Сахена для разложения многочленов над конечными полями с простой степенью n и гладким n - 1 работает за полиномиальное время.

 Если ОГР верна, то для любого простого p существует примитивныйкорень по модулю p (генератор мультипликативной группы целыхчисел по модулю p), меньший O((lnp)6)..
 Слабая гипотеза Гольдбаха также следует из обобщенной гипотезы Римана.Доказательство Харальда Хельфготт этой гипотезы подтверждает ОГР длянескольких тысяч малых характеров, которые позволили доказать гипотезудля всех целых (нечётных) чисел, больших 10\textsuperscript29. Дляцелых чисел ниже этой границы гипотеза была проверена прямым перебором.
 В предположении верности ОГР оценка суммы характеров в может бытьулучшено до O(qloglogq), где — q модульхарактера.

Расширенная гипотеза Римана(РГР)


 Пусть K — числовое поле (конечномерное расширение полярациональных чисел Q) с кольцом целых OK(это кольцо является целым замыканием целых чисел Z вK). Если a — идеал кольца OK,отличный от нулевого идеала, мы обозначим его через Na. над K тогда определяется как
ζK(s)=a1(Na)s
для любого комплексного числаs с вещественной частью \textgreater 1.
 Дзета-функция Дедекинда удовлетворяет функциональному уравнению и можетбыть расширена аналитическим продолжением на всю комплексную плоскость.В результирующей функции закодирована важная информация о числовом полеK. Расширенная гипотеза Римана утверждает, что для любогочислового поля K и любого комплексного числа s, длякоторого ζK(s) = 0, выполняется: есливещественная часть числа s лежит между 0 и 1, то она, на самомделе, равна 1/2.
 Исходная гипотеза Римана следует из расширенной гипотезы, если взятьчисловое поле Q с кольцом целых чисел Z.
 Из РГР вытекает эффективная версия : если L/K являетсяконечным расширением Галуа с группой Галуа G, а C являетсяобъединением классов смежности G, число идеалов K с нормойниже x с классом смежности Фробениуса в C равно
 :\{frac\{\textbar где константа в нотации O-большоеабсолютна, n является степенью L над Q, а Δявляется его дискриминантом.