Дзета функция Гурвица

 В математике Дзета-функция Гурвица, названная в честь АдольфаГурвица, — это одна из многочисленных дзета-функций, являющихсяобобщениями дзета-функции Римана. Формально она может быть определенастепенным рядом для комплексных аргументов s, приRe(s) \textgreater 1, и q,Re(q) \textgreater 0:

 $\zeta(s,q) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(q+n)^{s}}.$
 Этот ряд является абсолютно сходящимся для заданных значений s иq. Дзета-функция Римана — это частный случай дзета-функцииГурвица при q=1.

Аналитическоепродолжение


 Дзета функция Гурвица допускает аналитическое продолжение до мероморфнойфункции, определённой для всех комплексных s, при s ≠ 1. Вточке s = 1 она имеет простой полюс с вычетом равным 1.Постоянный член разложения в ряд Лорана в окрестности точки s = 1равен:

 \{lim\_\{s\{to 1\} \{left[\{zeta (s,q) -\{frac\{1\}\{s-1\}\{right] =
 \{frac\{-\{Gamma'(q)\}\{\{Gamma(q)\}= -\{psi(q),
 где Γ(x) — это гамма-функция, и ψ(x) — этодигамма-функция.

Представления в видерядов


 Представление в виде сходящегося степенного ряда для q\textgreater −1 и произвольного комплексного s ≠ 1 былополучено в 1930 году Гельмутом Хассе

 \{zeta(s,q)=\{frac\{1\}\{s-1\}
 \{sum\_\{n=0\}\^\{infty\{frac\{1\}\{n+1\} \{sum\_\{k=0\}\^n(-1)\^k \{n \{choose k\} (q+k)\^\{1-s\}.
 Этот ряд равномерно сходится на любом компактном подмножествекомплексной s-плоскости к целой функции. Внутренняя сумма можетбыть представлена в виде n-ой конечной разности для $q^{1-s}$, тоесть:

 $\Delta^n q^{1-s} = \sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} {n \choose k} (q+k)^{1-s}$
 где Δ — оператор конечной разности. Таким образом

 \{zeta(s,q)=\{frac\{1\}\{s-1\}
 \{sum\_\{n=0\}\^\{infty\{frac\{(-1)\^n\}\{n+1\} \{Delta\^nq\^\{1-s\}


 $= \frac{1}{s-1} {\log(1 + \Delta) \over \Delta} q^{1-s}.$

Интегральныепредставления


 Дзета-функция Гурвица имеет интегральное представление в видепреобразования Меллина:

 \{zeta(s,q)=\{frac\{1\}\{\{Gamma(s)\}\{int\_0\^\{infty
 \{frac\{t\^\{s-1\}e\^\{-qt\}\}\{1-e\^\{-t\}\}dt
 для Re(s)\textgreater1 и Re(q) \textgreater0.

ФормулаГурвица



 $\zeta(1-s,x)=\frac{1}{2s}\left[e^{-i\pi s/2}\beta(x;s) + e^{i\pi s/2} \beta(1-x;s) \right]$,
 где

 \{beta(x;s)=
 2\{Gamma(s+1)\{sum\_\{n=1\}\^\{infty\{frac \{\{exp(2\{pi inx) \}\{(2\{pi n)\^s\}=\{frac\{2\{Gamma(s+1)\}\{(2\{pi)\^s\}\{mbox\{Li\}\_s (e\^\{2\{pi ix\}) . Этопредставление дзета-функции Гурвица верно для 0 ≤ x ≤ 1 иs\textgreater1. Здесь $\text{Li}_s (z)$ — это полилогарифм.

Функциональноеуравнение


 Данное функциональное уравнение связывает значения дзета-функции Гурвицaслева и справа от прямой Re(s)=1/2 в комплекснойs-плоскости. Для натуральных m и n, таких что m ≤ n:

 \{zeta\{left(1-s,\{frac\{m\}\{n\}\{right) =
 \{frac\{2\{Gamma(s)\}\{ (2\{pin)\^s \} \{sum\_\{k=1\}\^n \{left[cos\{left( \{frac \{\{pi s\}\{2\} -\{frac \{2\{pi k m\} \{n\}\{right)\{; \{zeta\{left( s,\{frac \{k\}\{n\}\{right)\{right] верно для всех значенийs.

РядТейлора


 Производная дзета-функции Гурвица по второму аргументу также выражаетсячерез дзета-функцию Гурвица:

 $\frac {\partial} {\partial q} \zeta (s,q) = -s\zeta(s+1,q).$
 Таким образом ряд Тейлора имеет вид:

 \{zeta(s,x+y) =\{sum\_\{k=0\}\^\{infty\{frac \{y\^k\} \{k!\}
 \{frac \{\{partial\^k\}\{\{partial x\^k\} \{zeta (s,x) =\{sum\_\{k=0\}\^\{infty \{s+k-1\{choose s-1\} (-y)\^k \{zeta (s+k,x).

РядЛорана


 Разложение дзета-функции Гурвица в ряд Лорана может быть использованодля определения , которые появляются в разложении:

 $\zeta(s,q)=\frac{1}{s-1}+\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} \gamma_n(q) \; (s-1)^n.$

ПреобразованиеФурье


 Дискретное преобразование Фурье по переменной s дзета-функцииГурвица является хи-функцией Лежандра

Связь с многочленамиБернулли


 Определённая выше функция $\beta(x;n)$ обобщает многочлены Бернулли:

 $B_n(x) = -Re \left[ (-i)^n \beta(x;n) \right]$.
 С другой стороны,

 $\zeta(-n,x)=-{B_{n+1}(x) \over n+1}.$
 В частности, при $n=0$:

 $\zeta(0,x)= \frac{1}{2} -x.$

Связь с тета-функциейЯкоби


 Если $\vartheta (z,\tau)$ — это тета-функция Якоби, тогда

 \{int\_0\^\{infty\{left[\{vartheta (z,it) -1\{right] t\^\{s/2\} \{frac\{dt\}\{t\}=
 \{pi\^\{-(1-s)/2\} \{Gamma\{left( \{frac \{1-s\}\{2\}\{right) \{left[\{zeta(1-s,z) + \{zeta(1-s,1-z)\{right].
 Эта формула верна для Re(s) \textgreater 0 и любогокомплексного z, не являющегося целым числом. Для целогоz=n формула упрощается:

 \{int\_0\^\{infty\{left[\{vartheta (n,it) -1\{right] t\^\{s/2\} \{frac\{dt\}\{t\}=
 2\{ \{pi\^\{-(1-s)/2\} \{\{Gamma \{left( \{frac\{1-s\}\{2\} \{right) \{zeta(1-s)=2\{ \{pi\^\{-s/2\} \{\{Gamma \{left( \{frac\{s\}\{2\} \{right) \{zeta(s).
 где ζ(s) — дзета-функция Римана. Последнее выражение являетсяфункциональным уравнением для дзета-функция Римана.

Связь с L

-функциейДирихле
 При рациональных значениях аргумента дзета-функция Гурвица может бытьпредставлена в виде линейной комбинации L-функций Дирихле и наоборот.Если q = n/k при k \textgreater 2,(n,k) \textgreater 1 и0 \textless n \textless k, тогда

 $\zeta(s,n/k)=\sum_\chi\overline{\chi}(n)L(s,\chi),$
 при этом суммирование ведётся по всем характерам Дирихле по модулюk. И обратно

 $L(s,\chi)=\frac {1}{k^s} \sum_{n=1}^k \chi(n)\; \zeta \left(s,\frac{n}{k}\right).$
 в частности верно следующее представление:

 $k^s\zeta(s)=\sum_{n=1}^k \zeta\left(s,\frac{n}{k}\right),$
 обобщающее

 $\sum_{p=0}^{q-1}\zeta(s,a+p/q)=q^s\,\zeta(s,qa).$ (Верно принатуральном q и ненатуральном 1 − qa.)

Рациональные значенияаргументов


 Дзета-функция Гурвица встречается в различных интересных соотношенияхдля рациональных значений аргументов. В частности, для многочленовЭйлера $E_n(x)$:

 E\_\{2n-1\}\{left(\{frac\{p\}\{q\}\{right)=
 (-1)\^n \{frac\{4(2n-1)!\}\{(2\{piq)\^\{2n\}\} \{sum\_\{k=1\}\^q\{zeta\{left(2n,\{frac\{2k-1\}\{2q\}\{right)\{cos \{frac\{(2k-1)\{pip\}\{q\}
 и

 E\_\{2n\}\{left(\{frac\{p\}\{q\}\{right)=
 (-1)\^n \{frac\{4(2n)!\}\{(2\{piq)\^\{2n+1\}\} \{sum\_\{k=1\}\^q\{zeta\{left(2n+1,\{frac\{2k-1\}\{2q\}\{right)\{sin \{frac\{(2k-1)\{pip\}\{q\},
 Кроме того

 \{zeta\{left(s,\{frac\{2p-1\}\{2q\}\{right)=
 2(2q)\^\{s-1\} \{sum\_\{k=1\}\^q\{left[C\_s\{left(\{frac\{k\}\{q\}\{right)\{cos\{left(\{frac\{(2p-1)\{pik\}\{q\}\{right) +S\_s\{left(\{frac\{k\}\{q\}\{right)\{sin\{left(\{frac\{(2p-1)\{pik\}\{q\}\{right) \{right],
 верное для $1\le p \le q$. Здесь $C_\nu(x)$ и $S_\nu(x)$ выражаютсячерез хи-функциию Лежандра $\chi_\nu$ как

 $C_\nu(x) = \operatorname{Re}\, \chi_\nu (e^{ix})$
 и

 $S_\nu(x) = \operatorname{Im}\, \chi_\nu (e^{ix}).$

Приложения


 Дзета-функция Гурвица возникает в различных разделах математики. Чащевсего встречается в теории чисел, где её теория является наиболееразвитой. Также дзета-функция Гурвица встречается в теории фракталов идинамических систем. Дзета-функция Гурвица применяется в математическойстатистике, возникает в законе Ципфа. В физике элементарных частицвозникает в формуле Швингера, дающей точный результат для показателярождения пар в уравнении Дирака для стационарного электромагнитногополя.

Частные случаи иобобщения


 Дзета-функция Гурвица связяна с полигамма-функцией:

 $\psi^{(m)}(z)= (-1)^{m+1} m! \zeta (m+1,z).$
 Дзета-функция Лерха обобщает дзета-функцию Гурвица:

 \{Phi(z, s, q) =\{sum\_\{k=0\}\^\{infty
 \{frac \{ z\^k\} \{(k+q)\^s\} то есть

 $\zeta (s,q)=\Phi(1, s, q).$