L функция Дирихле

L-функция Дирихле Lχ(s) — комплексная функция,заданная при Res>0 (при Res>1 вслучае главного характера) формулой

Lχ(s)=n=1χ(n)ns,
 где χ(n) — некоторый числовой характер (по модулю k).L-функции Дирихле были введены для доказательства теоремы Дирихле опростых числах в арифметической прогрессии, центральным моментомкоторого является доказательство неравенства Lχ(1)0 длянеглавных характеров.

Произведение Эйлера для L-функцийДирихле


 В силу мультипликативности числового характера χ L-функцияДирихле представима в области Res>1 в виде эйлеровапроизведения по простым числам:

Lχ(s)=p(1χ(p)ps)1.
 Эта формула обусловливает многочисленные применения L-функций в теориипростых чисел.

Связь сдзета-функцией


L-функция Дирихле, соответствующая главному характеру по модулюk, связана с дзета-функцией Римана ζ(s) формулой

Lχ0(s)=ζ(s)p|k(11ps).
 Эта формула позволяет доопределить Lχ0(s) для области Re(s)>0c простым полюсом в точке s=1.