Ряд обратных квадратов

Ряд обратных квадратов — бесконечный ряд:

112+122+132+142+152+
 Задача нахождения суммы этого ряда долгое время оставалась нерешённой.Поскольку внимание европейских математиков на данную проблему обратилбазельский профессор математики Якоб Бернулли (1689 год), в истории онанередко называется «базельской задачей» (или«базельской проблемой»). Первым сумму ряда сумел найти в 1735году 28-летний Леонард Эйлер, она оказалась равна

16π21,6449340668 (см. ).
 Решение данной проблемы не только принесло молодому Эйлеру мировуюславу, но и оказало значительное влияние на дальнейшее развитие анализа,теории чисел, а впоследствии — комплексного анализа. В очередной раз(после открытия ряда Лейбница) число π вышло за пределы геометрии иподтвердило свою универсальность. Наконец, ряд обратных квадратовоказался первым шагом к введению знаменитой дзета-функции Римана.

История


 Файл:Pietro Mengoli.gif\textbar280px\textbarмини\textbarПьетроМенголиПьетро Менголи (1644), но тогда задача не вызвала общегоинтереса. Позднее найти сумму ряда безуспешно пытались найти многиевыдающиеся математики, в том числе Лейбниц, Стирлинг, де Муавр, братьяЯкоб и Иоганн Бернулли. Они вычислили несколько значащих цифр суммыряда, Якоб Бернулли строго доказал, что ряд сходится к некоторомуконечному значению, однако никто не смог определить, с чем это значениемогло бы быть связано.
 Якоб Бернулли призвал в своей книге «Арифметические предложения обесконечных рядах» (1689): «Если кому-либо удастся найти то, что до сихпор не поддавалось нашим усилиям, и если он сообщит это нам, то мы будемочень ему обязаны». Но при жизни Якоба Бернулли решение так и непоявилось.
 Первым успеха добился Эйлер, спустя почти полвека после обращенияБернулли. Скорее всего, о данной проблеме Эйлеру рассказал ИоганнБернулли, брат Якоба. Эйлер сообщил об открытии в заметке «Осуммах обратных рядов» (De summis serierum reciprocarum,Commentarii, 1735 год) для журнала Петербургской академии наук.Найденное им значение суммы Эйлер также сообщил письмом своему другуДаниилу Бернулли, сыну Иоганна Бернулли: Недавно я нашёл, и совсемнеожиданно, изящное выражение для суммы ряда, связанного с квадратуройкруга\ldots А именно, шестикратная сумма этого ряда равна квадратупериметра круга, диаметр которого 1. Даниил рассказал отцу, которыйвыразил сомнение в справедливости эйлеровского разложения синуса вбесконечное произведение (см. ниже). Поэтому в 1748 году Эйлер болеестрого обосновал результат в своей монографии «Введение в анализбесконечно малых» (Introductio in analysin infinitorum, том I,глава X).
 Для контроля Эйлер вычислил вручную сумму ряда с 20 знаками (видимо,используя формулу Эйлера — Маклорена, так как ряд обратных квадратовсходится довольно медленно). Далее он сопоставил сумму со значениемπ26, используя уже известное в тот период приближённоезначение числа π, и убедился, что оба значения, в пределах точностисчёта, совпадают. Впоследствии (1743) Эйлер опубликовал ещё два разныхспособа суммирования ряда обратных квадратов, один из них описан нижекак 4-й способ из книги Г. М. Фихтенгольца.

Доказательство сходимостиряда


 Достаточно доказать, что сходится ряд:

1+112+123+134+145 ,
 потому что каждое слагаемое в нём (кроме первого) больше, чем в рядеобратных квадратов. Представим новый ряд в виде:

1+(112)+(1213)+(1314)+$Очевидно,частичнаясуммаS_nэтогорядаравна2-{1\over n},$ поэтомуряд сходится, и его сумма равна 2. Следовательно, и ряд обратныхквадратов сходится к некоторому числу в интервале (1, 2).

Метод Эйлера для нахождения суммыряда


 К концу XVII века, благодаря работам Ньютона и других математиков, былоизвестно разложение в ряд функции синуса:

sin(x)=xx33!+x55!x77!+
 Эйлер сумел получить другое разложение синуса — не в сумму, а вбесконечное произведение:

sin(x)=x(1x2π2)(1x24π2)(1x29π2)(1x216π2)
 Приравняв оба выражения и сократив на x, получим:


 Поскольку это тождество выполняется при всех x, коэффициенты при x2в обеих его частях должны быть равны:

1π214π219π2116π2=16
 Умножив обе части равенства на (π2), окончательно получаем:

112+122+132+142+152+=π26

Альтернативные способы нахождениясуммы


РядФурье


 Аппарат разложения в ряд Фурье в применении к функции f(x)=x2позволяет особенно легко и быстро получить сумму ряда обратныхквадратов. Для чётной функции это разложение имеет следующий общий вид:

f(x)=a0+\infinn=1ancosnx
 Вычислим коэффициенты an по стандартным формулам:

a0=12πππx2dx=π23;an=1πππx2cos(nx)dx=(1)n4n2
 В итоге разложение приобретает вид:

x2=π23+\infinn=1(1)n4cos(nx)n2
 Подставив в эту формулу x=π, получаем

π2=π23+\infinn=1(1)n4(1)nn2,или:


23π2=4\infinn=11n2
 Разделив на 4, получим окончательный результат.
 Если вместо x=π подставить x=0, получится ещё одна сумма:

112122+132142+152+=π212
 Другой путь к решению задачи — использовать равенство Парсеваля дляряда Фурье той же чётной функции f(x)=x2.

Методы из курса анализа Г. М.Фихтенгольца


 Во втором томе трёхтомного «Курсе дифференциального и интегральногоисчисления» Г. М. Фихтенгольца приводятся несколько способовсуммирования ряда обратных квадратов.
 Первый способ (стр. 461) основан на разложении арксинуса:

2(arcsiny)2=m=1[(m1)!]2(2m)!(2y)2m
 При y=12 получаем

m=1[(m1)!]2(2m)!=π218
 Но ранее в томе 2 (стр. 340) было показано, что левая часть последнегоуравнения равна трети суммы ряда обратных квадратов, откуда получаемсумму ряда.
 Второй способ (стр. 490) по существу совпадает с приведенным вышеметодом Эйлера.
 Третий способ замечателен тем, что сразу даёт суммы всех рядов обратныхчётных степеней:

S2n=m=11m2n
 Он основан на двух формулах разложения гиперболического котангенса.Первая (стр. 484) справедлива при |x|<1:

πxcth(πx)=1+2n=1(1)n1S2nx2n
 Вторая (стр. 495) связывает гиперболический котангенс с числами БернуллиBn:

πxcth(πx)=1+n=1(1)n1(2π)2nBn(2n)!x2n
 Приравнивая одинаковые степени в обеих формулах, получаем формулу связисумм рядов с числами Бернулли:
Bn=2(2n)!(2π)2nS2n
Для n=1, с учётомB1=16, получаем ожидаемый результат.
 Четвёртый способ (стр. 671), найденный ещё Эйлером в 1741 году, основанна интегрировании рядов. Обозначим:

E=01arcsinx1x2 dx=01arcsinx darcsinx=π28
 Воспользуемся разложением арксинуса в ряд для промежутка [0, 1]:

arcsinx=x+n=1(2n1)!!(2n)!!x2n+12n+1
 Этот ряд сходится равномерно, и можно интегрировать его почленно:

E=01x1x2 dx+n=1(2n1)!!(2n)!!(2n+1)01x2n+11x2 dx
 Первый интеграл равен 1, а второй после подстановки x=sintоказывается равен (2n)!!(2n+1)!!, поэтому получаем:

E=1+n=11(2n+1)2=n=11(2n1)2
 Эта сумма содержит обратные квадраты нечётных чисел. Нужная нам суммаS ряда всех обратных квадратов состоит из двух частей, первая изкоторых равна E, а вторая содержит обратные квадраты чётных чисел:

S=112+122+132+142+=E+122+142+162+=π28+14S
 То есть 34S=π28, откуда: S=π26.

Другиеподходы


 Огюстен Луи Коши в 1821 году предложил оригинальный и строгий, хотядовольно сложный, метод суммирования ряда. См. подробное изложение встатье И. В. Терещенко.
 В статье К. П. Кохася приводятся несколько различных способовсуммирования ряда: через интегралы, комплексные вычеты, гамма-функцию,разложение арксинуса или котангенса, возведение в квадрат ряда Лейбница.

Вариации иобобщения


 Исходя из формулы (1), Эйлер рассчитал суммы не только для ряда обратныхквадратов, но и для рядов из других чётных степеней, вплоть до 26-й,например:

114+124+134+144+154+=π490


116+126+136+146+156+=π6945
 и т. д. Эйлер также выяснил, что суммы таких рядов связаны с числамиБернулли следующим образом:
S2k=(1)k1(2π)2k2(2k)!B2k,
где B2k— числа Бернулли.
 Эйлер просуммировал и модификацию ряда обратных квадратов, содержащую (взнаменателях) квадраты или иные чётные степени нечётных чисел; суммырядов оказались также связаны с числом π.
 Для рядов из нечётных степеней теоретическое выражение их сумм до сихпор не известно. Доказано лишь, что сумма ряда обратных кубов(постоянная Апери) — иррациональное число.
 Если рассматривать показатель степени в общем ряде обратных степеней какпеременную (не обязательно целочисленную), то получится дзета-функцияРимана, играющая огромную роль в анализе и теории чисел:

ζ(s)=n=11ns.
 Таким образом, сумма ряда обратных квадратов есть ζ(2). Первыеисследования свойств дзета-функции выполнил Эйлер. В 1859 году появиласьглубокая работа Бернхарда Римана, которая расширила определениедзета-функции на комплексную область. На основе тождества Эйлера Римандетально рассмотрел связь дзета-функции с распределением простых чисел.