Дзета функция Римана

Дзета-функция Римана — функция ζ(s)комплексного переменного s=σ+it, при σ>1определяемая с помощью ряда Дирихле:

ζ(s)=11s+12s+13s+,
 где sC.
 В заданной областиσ>1({sRes>1}) этот рядсходится, является аналитической функцией и допускает аналитическоепродолжение на всю комплексную плоскость без единицы.

ТождествоЭйлера


 В области {sRes>1} также вернопредставление в виде бесконечного произведения (тождествоЭйлера)

ζ(s)=p11ps ,
 где произведение берётся по всем простым числам p.
 Чтобы сделать доказательство строгим, необходимо потребовать тольколишь, чтобы, когда (s)>1, просеиваемая правая частьприближалась к 1, что немедленно следует из сходимости ряда Дирихле дляζ(s).
 \}\}
 Это равенство представляет собой одно из основных свойств дзета-функции.

Свойства



  • Существуют явные формулы для значений дзета-функции в чётных целых точках:
    2ζ(2m)=(1)m+1(2π)2m(2m)!B2m, где B2m — число Бернулли.

 В частности,ζ(2)=π26,  ζ(3)=ψ(2)(1)2,  ζ(4)=π490,  ζ(6)=π6945,  ζ(8)=π89450,
 где ψ — полигамма-функция;

  • Про значения дзета-функции в нечётных целых точках известно мало: предполагается, что они являются иррациональными и даже трансцендентными, но пока доказана только лишь иррациональность числа ζ(3) (Роже Апери, 1978). Также доказано, что среди значений ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) есть хотя бы одно иррациональное.
  • При Res>1
    • 1ζ(s)=n=1μ(n)ns, где μ(n) — функция Мёбиуса
    • ζ(2s)ζ(s)=n=1λ(n)ns, где λ(n) — функция Лиувиля
    • ζ2(s)=n=1τ(n)ns, где τ(n) — число делителей числа n
    • \{frac\{\{zeta(s)\}\{\{zeta(2s)\}=\{sum\_\{n=1\}\^\{infty\{frac\{\textbar
    • ζ2(s)ζ(2s)=n=12ν(n)ns, где ν(n) — число простых делителей числа n
    • ζ3(s)ζ(2s)=n=1τ(n2)ns
    • ζ4(s)ζ(2s)=n=1(τ(n))2ns

  • ζ(s) имеет в точке s=1 простой полюс с вычетом, равным 1.
  • Дзета-функция при s0,s1 удовлетворяет уравнению:
    ζ(s)=2sπs1sin(πs2)Γ(1s)ζ(1s),



 где Γ(z) — гамма-функция Эйлера. Это уравнениеназывается функциональным уравнением Римана.


  • Для функции
    ξ(s)=12πs/2s(s1)Γ(s2)ζ(s),


 введённой Риманом для исследования ζ(s) и называемойкси-функцией Римана, это уравнение принимает вид:

 ξ(s)=ξ(1s).

Нулидзета-функции


 Как следует из функционального уравнения Римана, в полуплоскостиRes<0, функция ζ(s) имеет лишь простые нули вотрицательных чётных точках:0=ζ(2)=ζ(4)=ζ(6)=. Эти нули называются«тривиальными» нулями дзета-функции. Далее, ζ(s)0 привещественных s(0,1). Следовательно, все «нетривиальные» нулидзета-функции являются комплексными числами. Кроме того, они обладаютсвойством симметрии относительно вещественной оси и относительновертикали Res=12 и лежат в полосе0Res1, которая называетсякритической полосой. Согласно гипотезе Римана, они всенаходятся на критической прямойRes=12.

Обобщения


 Существует довольно большое количество специальных функций, связанных сдзета-функцией Римана, которые объединяются общим названиемдзета-функции и являются её обобщениями. Например:

  • Дзета-функция Гурвица:
    ζ(s,q)=k=0(k+q)s,


 которая совпадает с дзета-функцией Римана при q = 1 (так каксуммирование ведётся от 0, а не от 1).

  • Полилогарифм:
    Lis(z)=k=1zkks,


 который совпадает с дзета-функцией Римана при z = 1.

  • Дзета-функция Лерха:
    Φ(z,s,q)=k=0zk(k+q)s,


 которая совпадает с дзета-функцией Римана при z = 1 и q =1 (так как суммирование ведётся от 0, а не от 1).

  • Квантовый аналог (q-аналог).

Аналогичныеконструкции


 В теории гауссовых интегралов по траекториям возникает задачарегуляризации детерминантов. Одним из подходов к её решению являетсявведение дзета-функции оператора. Пусть A — неотрицательноопределённый самосопряжённый оператор, имеющий чисто дискретный спектрspecA=diag{λ1,λ2,}.Причём существует вещественное число α>0, такое, что оператор(I+A)α имеет след. Тогда дзета-функция ζA(s)оператора A определяется для произвольного комплексного числа s,лежащего в полуплоскости Res>α, может быть заданасходящимся рядом

ζA(s)=λn01λns
 Если заданная таким образом функция допускает аналитическое продолжениена область, содержащую некоторую окрестность точки s=0, то на еёоснове можно определить регуляризованный детерминант оператора A всоответствии с формулой

detA=edζAds(0).

История


 Как функция вещественной переменной дзета-функция была введена в 1737году Эйлером, который и указал её разложение в произведение. Затем этафункция рассматривалась Дирихле и, особенно успешно, Чебышёвым приизучении закона распределения простых чисел. Однако наиболее глубокиесвойства дзета-функции были обнаружены позднее, после работы Римана(1859), где дзета-функция рассматривалась как функция комплексногопеременного.