Гипотеза Сельберга о дзета функции

Гипотеза Сельберга — математическая гипотеза о плотностинулей дзета-функции Римана ζ(1/2 + it), выдвинутая АтлеСельбергом.
 Гипотеза Сельберга является усилением . Сельберг выдвинул свою гипотезу,доказав гипотезу Харди—Литтлвуда.

История иформулировка


 В 1942 году Атле Сельберг выдвинул гипотезу, что при фиксированномε с условием 0<ε<0.001, достаточно большом Tи H=Ta+ε,a=2782=131246, промежуток(T,T+H) содержит не менее cHlnT вещественных нулей дзета-функцииРимана ζ(12+it). Сельберг доказалсправедливость утверждения для случая HT1/2+ε.

Доказательствогипотезы


 В 1984 году А. А. Карацуба доказал гипотезу Сельберга.
 Оценки А. Сельберга и А. А. Карацубы являются неулучшаемыми по порядкуроста при T+.
 В 1992 г. А. А. Карацуба доказал, что аналог гипотезы Сельбергасправедлив для «почти всех» промежутков (T,T+H],H=Tε, где ε — сколь угодно малоефиксированное положительное число. Метод, разработанный Карацубойпозволяет исследовать нули дзета-функции Римана на «сверхкоротких»промежутках критической прямой, то есть на промежутках (T,T+H], длинаH которых растёт медленнее любой, даже сколь угодно малой, степениT. В частности, он доказал, что для любых заданных чиселε, ε1 с условием0<ε,ε1<1 почти все промежутки (T,T+H] приHexp{(lnT)ε} содержат не менееH(lnT)1ε1 нулей функцииζ(12+it). Эта оценка весьма близка к той, чтоследует из гипотезы Римана.