Аналитическая теория чисел

Аналитическая теория чисел — раздел теории чисел, в которомсвойства целых чисел исследуются методами математического анализа.Наиболее известные результаты относятся к исследованию распределенияпростых чисел и аддитивным проблемам Гольдбаха и Варинга.
 Первым шагом в этом направлении стал метод производящих функций,сформулированный Эйлером. Для определения количества целочисленныхнеотрицательных решений линейного уравнения вида

a1x1+...+anxn=N,
 где a1,...,an — натуральные числа, Эйлер построил производящуюфункцию, которая определяется как произведение сходящихся рядов (при|z|<1)

Fi(z)=k=0(zai)k
 и является суммой членов геометрической прогрессии, при этом

F(z)=N=0l(N)zN,
 где l(N) — число решений изучаемого уравнения. На основе этогометода был построен круговой метод Харди — Литлвуда.
 В работе над квадратичным законом взаимности Гаусс рассмотрел конечныесуммы вида S(a)=n=1pe2πian2/p, которые могут бытьпредставлены в виде суммы синусов и косинусов (по формуле Эйлера), из-зачего они являются частным случаем тригонометрических сумм. Методтригонометрических сумм, позволяющий оценивать число решений тех илииных уравнений или систем уравнений в целых числах играет большую роль ваналитической теории чисел. Основы метода разработал и впервые применилк задачам теории чисел И. М. Виноградов.
 Работая над доказательством теоремы Евклида о бесконечности простыхчисел Эйлер рассмотрел произведение по всем простым числам исформулировал тождество:

Πp(11ps)1=n=11ns,
 которое стало основанием для теорий дзета-функций. Наиболее известной идо сих пор не решённой проблемой аналитической теории чисел являетсядоказательство гипотезы Римана о нулях дзета-функции, утверждающей, чтовсе нетривиальные корни уравнения ζ(s)=0 лежат на так называемойкритической прямой Res=12, гдеζ(s) — дзета-функция Римана.
 Для доказательства теоремы о бесконечности простых чисел в общем видеДирихле использовал произведения по всем простым числам, аналогичныеэйлерову произведению, и показал, что

Πp(1χ(p)ps)1=n=1χ(n)ns,
 при этом функция χ(p), получившая название характер Дирихле,определена так, что удовлетворяет следующим условиям: она являетсяпериодической, вполне мультипликативной и не равна тождественно нулю.Характеры и ряды Дирихле нашли применение и в других разделахматематики, в частности в алгебре, топологии и теории функций.
 Чебышёв показал, что число простых чисел, не превосходяших X,обозначенное как π(X), стремится к бесконечности по следующемузакону:

aXln(X)<π(X)<bXln(X), где a>1/2ln2 иb<2ln2.
 Другим направлением аналитической теории чисел является применениекомплексного анализа в доказательстве теоремы о распределении простыхчисел.