Гипотеза Артина

 В теории чисел гипотеза Артина — это гипотеза о существованиии количественной оценке простых чисел, по модулю которых заданное целоечисло является первообразным корнем.

Формулировка


 Для любого целого числа a, не являющегося точным квадратом иотличного от -1, существует бесконечно много простых чисел, по модулюкоторых a является первообразным корнем. Более того, дляколичества Na(x) таких простых чисел не превышающих xсправедлива асимптотика:
Na(x)A(a)xlnx
при x, где A(a) —константа, зависящая только от a.
 В настоящий момент неизвестно даже, верна ли гипотеза для конкретногочисла a=2.

Пример


 Число 2 является первообразным корнем, в частности, по модулю 3 и помодулю 5, но не по модулю 7. Последовательность простых чисел, по модулюкоторых 2 является первообразным корнем, начинается так:

 3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 83, 101, \ldots
 На данный момент остаётся открытым вопрос о бесконечности этойпоследовательности. Гипотеза Артина предполагает утвердительный ответ наэтот вопрос.