Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

Интегральный логарифм

Интегральный логарифм — специальная функция, определяемаяинтегралом

li(x)=x0dtlnt.
 Для устранения сингулярности при x=1 иногда применяетсясдвинутый интегральный логарифм:

Li(x)=x2dtlnt.
 Эти две функции связаны соотношением:

li(x)Li(x)=li(2)1,045163780117492
 Интегральный логарифм введён Леонардом Эйлером в 1768 году.
 Интегральный логарифм и интегральная показательная функция связанысоотношением:

li(x)=Ei(lnx).
 Интегральный логарифм имеет единственный положительный ноль в точкеμ1,451369234883381050283968485892027449493(число Рамануджана — Солднера).

Разложение вряд


 Из тождества, связывающего li(x) и Ei(lnx)следует ряд:

li(x)=Ei(lnx)=γ+lnlnx+n=1(lnx)nnn!,
 где γ0,577215664901532 — постоянная Эйлера— Маскерони.
 Быстрее сходится ряд, выведенный Сринивасой Рамануджаном:

li(x)=γ+lnlnx+xn=1(1)n1(lnx)n2n1n!(n1)/2k=012k+1.

Интегральный логарифм и распределение простыхчисел


 Интегральный логарифм играет важную роль в исследовании распределенияпростых чисел. Он представляет собой более точное приближение к числупростых чисел, не превосходящих заданного числа, чем x/lnx. Присправедливости гипотезы Римана выполняется

π(x)=Li(x)+O(xln2(x)).
 Для не слишком больших x π(x)<Li(x), однако доказано,что при некотором достаточно большом x неравенство меняет знак. Эточисло называется числом Скьюза и в настоящее время для этого числанайдена оценка сверху ee27/4.