Функция Мертенса

 В теории чисел функция Мертенса определяется для всехнатуральных чисел n формулой
M(n)=k=1nμ(k)
,
 где μ(k) — функция Мёбиуса. Функция Мертенса названа в честьФранца Мертенса.
 Другими словами, M(n) — это разность между количеством свободных отквадратов чисел, не превосходящих n и содержащих чётноечисло множителей, и количеством таких же чисел, но содержащихнечётное число множителей.
 Определение выше может быть расширено на все положительныедействительные числа следующим образом:
M(x)=1kxμ(k).

Свойства



  • |M(x)|x.
  • M(x)=o(x), что нетривиально, но доказано
  • M(x)=M([x]), где [x] - целая часть числа x.
  • Серия тождеств, содержащих функцию Мертенса, получается единообразно на основе следующего факта:

 Если cn=d|nμ(n/d)ad, то при x1справедливо тождество:
kxM(x/k)ak=C(x)
, гдеC(x)=nxcn - сумматорная функцияпоследовательности cn.
 В частности, отсюда получаются следующие тождества, справедливые приx1:
kxM(x/k)=1
- характеристическое свойствофункции Мертенса;
kxM(x/k)lnk=ψ(x)
, гдеψ(x) - вторая функция Чебышёва;
kxM(x/k)|μ(k)|=M(x)
;
kxM(x/k)Λ(k)=ln[x]!
, гдеΛ(k) - функция Мангольдта;
kxM(x/k)τ(k)=[x]
, где τ(k) -количество делителей числа k.

  • Функция Мертенса имеет области медленного изменения как в положительную, так и в отрицательную сторону, проходя средние и экстремальные значения, осциллируя, по видимости, хаотическим образом, проходя через нуль при следующих значениях n:


 2, 39, 40, 58, 65, 93, 101, 145, 149, 150, 159, 160, 163, 164, 166, 214,231, 232, 235, 236, 238, 254, 329, 331, 332, 333, 353, 355, 356, 358,362, 363, 364, 366, 393, 401, 403, 404, 405, 407, 408, 413, 414, 419,420, 422, 423, 424, 425, 427 ... .

  • Поскольку функция Мёбиуса может принимать только значения 1,0,1, функция Мертенса изменяется медленно: для всех n верно, что |M(n)|n. Гипотеза Мертенса предполагала более сильное ограничение: для всех n абсолютное значение функции Мертенса не превосходит корня из n: |M(n)|n. Однако, гипотеза Мертенса оказалась не верна, как показали в 1985 году и . Гипотеза Римана эквивалентна более слабой гипотезе о росте M(n), а именно M(n)=O(n1/2+ε). Поскольку наибольшие значения M(n) растут как минимум так же быстро, как и корень из n, это предположение довольно точно оценивает рост функции Мертенса. Здесь, O обозначает O большое.

Первые 160 значений M

(\emphn)
PersonYearLimit
Mertens189710\textsuperscript4
von Sterneck18971.5
von Sterneck19015
von Sterneck19125
Neubauer196310\textsuperscript8
Cohen and Dress19797.8
Dress199310\textsuperscript12
Lioen and van de Lune199410\textsuperscript13
Kotnik and van de Lune200310\textsuperscript14

 Функция Мертенса для всех целых, не превосходящих N, может бытьвычислена за время O(N1+ε). Существует элементарныйалгоритм, вычисляющий изолированное значение M(N) за времяO(N2/3+ε).

Приложения


 В своём элементарном доказательстве теоремы о распределении простыхчисел Гельфонд доказывает и использует тот факт, что из M(x)=o(x)следует π(x)=xlnx+o(xlnx).

Замечания