Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

Рациональные тригонометрические суммы

Рациональные тригонометрические суммы — комплексные суммыособого вида, которые могут использоваться при доказательств теореманалитической теории чисел

Определение


 Рациональными тригонометрическими суммами называются суммы видаSφ(q)=qx=1e2πiφ(x)q,где φ(x)=nk=0akxk — многочлен сцелыми коэффициентами, причём (a0,,an,q)=1 (принетривиальном наибольшем общем делителе дробь можно сократить и привестик общему виду).

Некоторыеоценки


 При оценке рациональных тригонометрических сумм в математикерассматривают, как правило, верхнюю оценку на модуль суммы, так как егозначительно проще оценивать. В связи с этим принимается, что a0=0,так умножение такой суммы на e2πia0 не изменяет её абсолютнойвеличины.

Частныеслучаи



agraphЛинейныесуммы
 Если φ(x)=ax, то, пользуясь нотацией Айверсона, можно указать,что Sφ(q)=q[qa]. Доказательство этого фактатривиально следует из того, что сумма корней из единицы по любому целомуоснованию нулевая. Такие суммы называются линейными.

agraphСуммы Гаусса(квадратичные)
 Рациональные тригонометрические суммы над многочленами видаφ(x)=ax2 называются суммами Гаусса.
 Для таких сумм известны точные значения абсолютной величины, а именно

 \textbar\{S\_\{\{varphi\}\}(q)\textbar =
 \{begin\{cases\} \{sqrt\{q\}, \& q\{equiv 1 \{mod 2\{\{ \{sqrt\{2q\}, \& q\{equiv 0 \{mod 4\{\{ 0, \& q \{equiv 2\{mod 4 \{end\{cases\}

Общиеоценки


 Далее для удобства изложения примем n=degφ.
 Хуа вывел оценку |Sφ(q)|<c(n)q11n, гдеc(n) — константа, зависящая только от n. То есть|Sφ(q)|=O(q11n) при фиксированном n.
 Если φ(x)=axn, то при простом q>2 верна более точнаяоценка |Sφ(q)|(n1)q.

Частичные линейныесуммы


 Пользуясь стандартной формулой суммы геометрической прогрессии, можновывести, что для φ(x)=axq выполнено
|mx=1e2πiφ(x)|=|e2πiaqe2πia(m+1)q1e2πiaq|2min({aq},1{aq}),
 где {x} означает дробную часть числа x.

Применение


 В первом доказательстве квадратичного закона взаимности (Гаусс, 1795)использовались суммы Гаусса над многочленом видаφ(x)=ax2q.
 Виноградов с помощью рациональных тригонометрических сумм вывелприближённое описание распределения квадратичных вычетов и невычетов.
 Рассматриваемые суммы могут также находить применение при доказательствепроблемы Варинга методами аналитической теории чисел.

История


 Тригонометрические суммы впервые применил Гаусс в 1795 году длядоказательства квадратичного закона взаимности.